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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 33

Um losango de vértices A , B , C e D e área 2 6 (SO) está contido no plano π : 2 x - y - z = 0 . Os pontos B e C são extremidades de uma diagonal e pertencem, respectivamente, aos planos O x y e O x z . Sabendo que A = 0,0 , 0 e que D tem as três coordenadas negativas, determine B , C e D .

Passo 1

Vamos começar esta questão calculando a interseção do plano π com os planos coordenados para descobrir as coordenadas dos pontos B e C , ou melhor, a reta em que estes pontos estão localizados.

Começando pelo ponto B , temos a seguinte reta:

r : 2 x - y - z = 0 z = 0 ⟹ r : y = 2 x z = 0

Portanto, existe um valor de λ tal que o ponto B é dado por B = x , y , z = x , 2 x , 0 = λ , 2 λ , 0

Repetindo o mesmo procedimento para o ponto C , temos:

s : 2 x - y - z = 0 y = 0 ⟹ r : z = 2 x y = 0

Então, existe um valor de μ tal que o ponto D é dado por: D = μ , 0,2 μ .

Passo 2

Como estamos trabalhando com um tetraedro, sabemos que os lados tem comprimento iguais. Portanto, a distância do ponto A até os pontos B e C são iguais. Logo,

d A , B = d A , C

λ 2 + 2 λ 2 + 0 2 = μ 2 + 0 2 + 2 μ 2

5 λ 2 = 5 μ 2

λ 2 = μ 2

λ = ± μ

Bom, conseguimos a nossa primeira relação entre λ e μ . Precisamos desenvolver outras relações para saber exatamente qual é o caso que estamos trabalhando.

Passo 3

Agora, vamos utilizar a relação da área do losango, a qual é 2 6 . Seja um losango de lados A C e A B , a sua área será a norma do produto vetorial entre A B → e A C → .

Então, calculando o produto vetorial primeiramente, temos:

A B → ∧ A C → = i j k λ 2 λ 0 μ 0 2 μ = 4 λ μ , - 2 λ μ , - 2 λ μ

Então, a norma desse produto vetorial será:

| | A B → ∧ A C → | | = 4 λ μ 2 + - 2 λ μ 2 + - 2 λ μ 2 = 2 6

24 λ 2 μ 2 = 2 6

Só que, como λ 2 = μ 2 , temos:

24 λ 4 = 2 6

2 λ 2 6 = 2 6

λ 2 = 1

λ = ± 1

Uma segunda relação, nos falta agora saber se o sinal é positivo ou negativo (e também em relação a μ )

Passo 4

No passo anterior verificamos que λ = ± μ = ± 1 . Sabemos o módulo de cada um destes parâmetros, mas ainda não sabemos o sinal deles.

Para resolvermos este impasse, vamos lembrar que o último vértice do losango, o ponto D , possui as três coordenadas negativas. E também, podemos expressar ele através da seguinte relação:

D = B + A C →

Desenvolvendo esta expressão, acima, temos:

D = λ , 2 λ , 0 + μ , 0,2 μ = λ + μ , 2 λ , 2 μ

Como as três coordenadas devem ser negativas, verificamos facilmente que μ < 0 e λ < 0 .

Portanto, os valores destas variáveis devem ser λ = μ = - 1 . Consequentemente, os pontos B , C e D possuem as seguintes coordenadas:

B = - 1 , - 2,0

C = - 1,0 , - 2

D = - 2 , - 2 , - 2

Resposta

B = - 1 , - 2,0

C = - 1,0 , - 2

D = - 2 , - 2 , - 2

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