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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 14.Exercício - Ex. 11

Em relação a um sistema ortogonal de coordenaas, A = 0,0 , 1 ,   B = 1,2 , 1 e C = 1,0 , 1 . Obtenha equações paramétricas das retas que contêm a bissetriz e as externas do triângulo A B C , relativas ao vértice C .

Passo 1

Vamos começar dando nome aos bois...

Seja u → o versor de C A → e v → o versos de C B → , então o vetor w → = u → + v → é vetor diretor da bissetriz interna de A C ^ B e o vetor p → = u → - v → é o diretor da bissetriz externa de A C ^ B .

Precisamos determinar u → e v → , certo?

Passo 2

Para determinarmos os vetores u → e v → , primeiramente precisamos descobrir C A → e C B → :

C A → = A - C = 0,0 , 1 - 1,0 , 1 = - 1,0 , 0

C A → = - 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1

C B → = B - C = 1,2 , 1 - 1,0 , 1 = 0,2 , 0

C B → = 0 2 + 2 2 + 0 2 = 2

Passo 3

Como os vetores u → e v → são versores de C A → e C B → , então:

u → = C A → | C A → | = ( - 1,0 , 0 ) 1 = ( - 1,0 , 0 )

v → = C B → | C B → | = ( 0 , 2 , 0 ) 2 = ( 0 , 1 , 0 )

Passo 4

Agora, vamos pensar nos vetores diretores das bissetrizes, para eles, temos:

w → = u → + v → = - 1,0 , 0 + 0,1 , 0 = - 1,1 , 0

p → = u → - v → = - 1,0 , 0 - 0,1 , 0 = ( - 1 , - 1,0 )

Passo 5

Calculando a equação da reta suporte da bissetriz interna de A C ^ B na sua forma vetorial:

x = C + λ w →

x , y , z = 1,0 , 1 + λ ( - 1,1 , 0 )

Passando a equação para a forma paramétrica, temos:

x = 1 - λ y = λ                 z = 1                

Passo 6

Calculando a equação da reta suporte da bissetriz externa de A C ^ B na sua forma vetorial:

x = C + λ p →

x , y , z = 1,0 , 1 + λ ( - 1 , - 1,0 )

Passando a equação para a forma paramétrica, temos:

x = 1 - λ y = - λ           z = 1                

Resposta

Interna:

x = 1 - λ y = λ                 z = 1                

Externa:

x = 1 - λ y = - λ           z = 1                

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Escreva uma equação cujo gráfico seja o eixo x . ( b ) Escreva uma equação cujo gráfico seja o eixo y . ( c ) Escreva uma equação cujo gráfico seja o conjunto de todos os pontos no eixo x ou y .
Determine o ponto dado pela interseção da reta e do plano especificados. x = 1 + 2 t , y = 4 t , z = 2 - 3 t ; x + 2 y - z + 1 = 0
Determine o ponto dado pela interseção da reta e do plano especificados. x = 3 - t , y = 2 + t , z = 5 t ; x - y + 2 z = 9
Determine a equação na forma simétrica da reta de interseção dos planos e (b) determine o ângulo entre os planos. x + y - z = 2 , 3 x - 4 y + 5 z = 6
Determine a equação na forma paramétricas da reta obtida pela interseção dos planos z = x + y , 2 x - 5 y - z = 1