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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 1e

Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém P e é concorrente com r e s .

P = 1 ,   0 ,   3                           r : X = 1 ,   0 ,   0 + λ   ( 3 ,   - 1 ,   2 )                       s : X = - 5 ,   2 ,   - 4 + λ   ( 1 ,   5 ,   - 1 )

Passo 1

Nós queremos achar uma reta que contenha P e seja concorrente a r e s . Como já temos P , falta apenas encontrar o vetor diretor e já temos nossa reta t .

O problema fica muito mais simples se escrevemos as retas r e s na forma vetorial. Para nossa sorte, nesse caso elas já estão nessa forma!

Um ponto genérico A pertencendo a reta r deve satisfazer

A = ( 1 + 3 μ ,   - μ ,   2 μ )

Já um ponto B pertencendo a reta s deve satisfazer

B = - 5 + λ ,   2 + 5 λ ,   - 4 - λ

Passo 2

Para que a reta t seja concorrente com as retas r e s , ela deve intercepta-las. Vamos supor que esse pontos são A e B , respectivamente. Assim, P ,   A e B devem ser colineares. Portanto,

P A → = k   P B →

Os vetores são dados por

P A → = A - P = ( 3 μ ,   - μ ,   2 μ - 3 )

P B → = B - P = ( - 6 + λ ,   2 + 5 λ ,   - 7 - λ )

Assim,

( 3 μ ,   - μ ,   2 μ - 3 ) = k   ( - 6 + λ ,   2 + 5 λ ,   - 7 - λ )

Portanto,

3 μ = k ( λ - 6 ) - μ = k ( 5 λ + 2 ) 2 μ - 3 = - k ( λ + 7 )

Passo 3

Da segunda equação tiramos que

μ = - k ( 5 λ + 2 )

Substituindo na primeira:

- 3 k 5 λ + 2 = k ( λ - 6 )

Supondo k ≠ 0 :

- 15 λ - 6 = λ - 6 ⇒ λ = 0

Assim,

- μ = 2 k 2 μ - 3 = - 7 k

Logo,

- 4 k - 3 = - 7 k ⇒ 3 k = 3 ⇒ k = 1 ⇒ μ = - 2

Portanto, os pontos A e B são

A = - 5 ,   2 ,   - 4             e           B = ( - 5 ,   2 ,   - 4 )

Note que as retas r e s são concorrentes já que A = B . O vetor diretor da reta que procuramos é

u → = A P → = P - A = 1 ,   0 ,   3 - - 5 ,   2 ,   - 4 = ( 6 ,   - 2 ,   7 )

Portanto, a equação vetorial da reta t é

X = 1 ,   0 ,   3 + λ   ( 6 ,   - 2 ,   7 )

Resposta

X = 1 ,   0 ,   3 + λ   ( 6 ,   - 2 ,   7 )

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