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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 5.Problemas propostos - Ex. 31b

Escrever equações reduzidas na variável z de cada uma das retas que satisfazem as condições dadas:

  1. Passa pela origem e é ortogonal a cada uma das retas r : 2 x - 1 3 = y + 2 - 2 = 2 z - 2 e s : x = - y = - z

Passo 1

Como a reta procurada é perpendicular as rets r e s , precisamos fazer um produto vetorial. Para isso é necessário colocr as equação da reta na forma padrão.

Para reta r

r : 2 x - 1 3 = y + 2 - 2 = 2 z - 2

x - 1 / 2 3 / 2 = y + 2 - 2 = z - 1 1 / 2

O vetor diretor v 1 → = 3 2 , - 2 , 1 2

Para reta s

x = - y = - z

x - 0 1 = y - 0 - 1 = z - 0 - 1

O vetor diretor v 1 → = 1 , - 1 , - 1

Passo 2

Cálculo do produto vetorial.

w → = v 1 →   x   v 2 → = i → j → k → 1 - 1 - 1 3 2 - 2 1 2 = - 5 2 , - 4 2 , - 1 2

Equação vetorial

Para encontrarmos a equação vetorial devemos ter o vetor diretor e um ponto comum pertencente a reta.

x , y , z = 0,0 , 0 + - 5 2 , - 4 2 , - 1 2 t

Podemos então reescreve-las na forma paramétrica.

x = - 5 2 t y = - 2 t z = - 1 2 t

Passo 3

A partir das equações paramétricas podemos encontrar as equação na forma reduzida.

x = - 5 2 t y = - 2 t z = - 1 2 t

Isolando t na equação z

t = - 2 z

Substituindo os nas equações de x e y , temos.

Para x

x = - 5 2 t

x = - 5 2 - 2 z

x = 10 4 z

x = 5 2 z

Para y

y = - 2 t

y = - 2 - 2 z

y = 4 z

Equação reduzidas

x = 5 2 z y = 4 z

Resposta

A equações reduzidas é x = 5 2 z y = 4 z

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Obtenha uma equação vetorial da reta concorrente com r e s e é paralela à reta h . r : X = 1,1 , - 1 + λ 2,1 , - 1s : x + y - 3 z = 1 2 x - y - 2 z = 0h contém A = 1 , - 1,4 e B = 0 , - 3 , - 1 . r :
Obtenha uma equação vetorial da reta concorrente com r e s e é paralela à reta h . r : X = 1,1 , - 1 + λ 2,1 , - 1s : x + y - 3 z = 1 2 x - y - 2 z = 0h contém A = 1 , - 1,4 e B = 0 , - 3 , - 1 . r :
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6. Determinar as equações reduzidas, com variável independente x , da reta que passa pelo ponto A 4,0 , - 3 e tem direção do vetor v = 2 i + 4 j + 5 k .
7. Estabelecer as equações reduzidas (variável independente x ) da reta determinada pelos pares de pontos:a) A ( 1 , - 2 , , 3 ) e B 3 , - 1 , - 1 b) A - 1,2 , 3 e B 2 , - 1,3