Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto P e a reta r .

b) P = 1 ,   0 ,   - 1 ,   r : x - 1 2 = y 3 = 2 - z

Passo 1

Como o plano contém a reta r , um dos seus vetores diretores é ( 2 ,   3 ,   - 1 ) , ou seja, o vetor diretor da reta, certo?

Outro vetor diretor do plano vai ser o vetor que liga A = ( 1 ,   0 ,   2 ) , ponto da reta, com o ponto P = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) , que também sabemos que faz parte do plano. Assim:

A P → = P - A = ( 0 ,   0 ,   - 3 )

Passo 2

O vetor normal do plano que queremos vai ser o produto vetorial dos vetores diretores do plano, ou seja:

2 ,   3 ,   - 1 ∧ 0 ,   0 ,   - 3 = ( - 9 ,   6 ,   0 )

Lembrando: se você trocar a ordem dos vetores no produto vetorial, apenas mudaremos o sentido do vetor normal, mas a direção é a mesma então a resposta continua correta ok?

Então, a equação do plano pode ser escrita assim:

- 9 x + 6 y + 0 z + d = 0

Substituindo o ponto ( 1 ,   0 ,   2 ) , que faz parte do plano, podemos encontrar d :

- 9 . 1 + 6 . 0 + d = 0

d = 9

Então, a equação geral do plano é

- 9 x + 6 y + 9 = 0

Dividindo tudo por 3:

- 3 x + 2 y + 3 = 0

Resposta

b) - 3 x + 2 y + 3 = 0

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