Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 13
a) Prove que o lugar geométrico dos pontos de que equidistam de e é um plano.
b) Prove que o plano do item (a) é perpendicular ao segmento e contém o seu ponto médio (trata-se, pois, do plano mediador do segmento ).
Passo 1
No item (a) temos que provar que o lugar geométrico dos pontos de que equidistam de e é um plano. Para isso, consideremos um ponto genérico que seja equidistante de e . Assim,
Sabemos que
Portanto,
Passo 2
Desenvolvendo:
Simplificando os termos quadráticos:
Portanto,
Trata-se da equação de um plano! Era exatamente isso que queríamos mostrar!
Passo 3
Agora vamos para o item (b). O vetor normal do plano encontrado é
Já o vetor é
Note que é paralelo a . Assim, mostramos que o segmento é perpendicular ao plano. Vamos achar agora a intersecção da reta que passa por e com o plano. Para isso, primeiro achamos a equação da reta:
Substituindo na equação do plano:
Logo,
Portanto,
Vamos verificar se esse é o ponto médio de :
Provamos então que é perpendicular ao plano e que o ponto médio de está contido no plano!
Resposta
Demonstração.