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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.3 - Ex. 2

Seja u = 1 + i ,   i ,   v = 1 - i , 2 i e   w = 2 ,   3 + i vetores no espaço vetorial C 2 .

a) Calcular 3 + i u - i v - 2 - i w ;

b) Existe z   ∈ C tal que v = z u ?

Passo 1

Vamos para a nossa letra a)

Temos que calcular

3 + i u - i v - 2 - i w

O enunciado já nos diz que

u = 1 + i ,   i ,   v = 1 - i , 2 i e   w = 2 ,   3 + i

Substituindo na nossa expressão, temos

3 + i * 1 + i ,   i - i * 1 - i , 2 i - 2 - i * 2 ,   3 + i

3 + 3 i + i + i 2 ,   3 i + i 2 - i - i 2 ,   2 i 2 - ( 4 - 2 i , 6 + 2 i - 3 i - i 2 )

Lembrando que i 2 = - 1

3 - 1 + 4 i ,   3 i - 1 - i + 1 , - 2 - 4 - 2 i , 6 + 1 - i

2 + 4 i ,   3 i - 1 - i + 1 , - 2 - 4 - 2 i , 7 - i

Agora somando esses valores que sobraram, temos

2 + 4 i ,   3 i - 1 - i + 1 , - 2 - 4 - 2 i , 7 - i = ( - 3 + 5 i ,   - 6 + 4 i )

Passo 2

Agora a letra b)

Precisamos de um z ∈ C que satisfaça a seguinte condição

v = z u

Vamos dizer que z tem o seguinte formato

z = a + b i

Portanto

u = 1 + i ,   i ,   v = 1 - i , 2 i   e   z = a + b i

Substituindo

v = z u

1 - i , 2 i =   a + b i * 1 + i ,   i

Resolvendo, teremos

1 - i , 2 i = a + a i + b i + b i 2 ,   a i + b i 2

1 - i , 2 i = a + a i + b i - b ,   a i - b

1 - i , 2 i = a - b + a + b i ,   - b + a i

Portanto

a - b = 1 ; a + b = - 1 ;   - b = 0   e   a = 2

Ou seja, já concluímos que a = 2   e   b = 0 . Mas isso é contraditório, pois as duas primeiras afirmações seriam absurdas.

Portanto não existe um z que satisfaça a equação proposta.

Resposta

a) ( - 3 + 5 i ,   - 4 + 4 i )

b) Não Existe

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