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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.3 - Ex. 7

Provar que

det ([[1,a^2,a^3],[1,b^2,b^3],[1,c^2,c^3]]) = det ([[b,c,a,a^2],[c,a,b,b^2],[a,b,c,c^2]])

Passo 1

A propriedade 1 dos dará que

det ([[a,lambda,b,lambda,c,lambda],[d,e,f],[g,h,i]]) = lambda det ([[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]])

E a propriedade 5 que

det (A) = det ([[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]) = det ([[a,d,g],[b,e,h],[c,f,i]]) = det (A^t)

Ou seja, o determinante de A é igual o determinante da comporta de A .

Passo 2

Assim, removendo o termo a da primeira linha, b da segunda e c da terceira, teremos:

det ([[1,a^2,a^3],[1,b^2,b^3],[1,c^2,c^3]]) = a b c det ([[1,//,a,a,a^2],[1,//,b,b,b^2],[1,//,c,c,c^2]])

Usando a propriedade 5 , temos que

a b c det ([[1,//,a,a,a^2],[1,//,b,b,b^2],[1,//,c,c,c^2]]) = a b c det ([[1,//,a,1,//,b,1,//,c],[a,b,c],[a^2,b^2,c^2]])

E agora usando novamente a propriedade 1 e levando a b c somente para a primeira linha, temos

a b c det ([[1,//,a,1,//,b,1,//,c],[a,b,c],[a^2,b^2,c^2]]) = det ([[b,c,a,c,a,b],[a,b,c],[a^2,b^2,c^2]])

E finalmente a ultima vez que usando a propriedade 5 teremos

det ([[b,c,a,c,a,b],[a,b,c],[a^2,b^2,c^2]]) = det ([[b,c,a,a^2],[a,c,b,b^2],[a,b,c,c^2]])

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada parte, encontre o determinante, sabendo que A é uma matriz 4 × 4 com det ⁡ A = - 2 d )det ⁡ A 3
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