Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 14.Exercício - Ex. 32
a) Mostre que, se , então os pontos não são colineares e o plano determinado por eles pode ser descrito pela equação (sob esta forma, a equação é chamada equação segmentária do plano). Usando os sistemas de coordenadas indicados na Figura 14-7(a), faça esboços no caso em que e .
b) Um plano pode ter mais do que uma equação segmentária?
Passo 1
Se , teremos 3 vetores L.I., pois em:
A única solução possível é , o que significa independência linear, e se eles são L.I., não são colineares fechou?
Passo 2
Vamos nomear os pontos:
Bem criativos hahahaha mas então gente, um plano determinado por esses 3 pontos vai ter vetores diretores e :
Vamos fazer o produto vetorial desses dois vetores para encontramos o vetor normal do vetor determinado por eles:
Passo 3
Então, tendo o vetor normal do plano em mãos, sabemos que uma equação geral pra esse plano é:
Se substituirmos o ponto para encontrarmos :
Então a equação geral do plano é:
Agora vamos dividir tudo por :
E tcharammm:
Chegamos na nossa equação segmentária, ta demonstrado :)
Quando e temos:
Um plano onde o vetor normal é e que passa, por exemplo, pelo ponto . Seu esboço é mostrado na figura abaixo:
Passo 4
b) Não, porque a equação segmentária sempre deve ser igualada a 1, se multiplicarmos ou dividirmos a equação por qualquer valor (de forma que ela continue representando o mesmo plano), deixamos de ter uma equação segmentária.
Resposta
b) Não.