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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.3 - Ex. 3

Seja A uma matriz de ordem 3. Provar diretamente que det ⁡ A = det ⁡ A t .

Passo 1

Vamos provar agora a propriedade det ⁡ A = det ⁡ A t . Mas como faremos isto?

Bom, a melhor forma é supormos duas matrizes genéricas A e B , dadas por:

A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

B = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

Sabemos também calcular o determinante de ambas matrizes, e eles são dados por:

det ⁡ A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 11 a 23 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 12 a 21 a 33

det ⁡ B = b 11 b 22 b 33 + b 12 b 23 b 31 + b 13 b 21 b 32 - b 11 b 23 b 32 - b 13 b 22 b 31 - b 12 b 21 b 33

Aparentemente, os determinantes são diferentes, não é? Em uma relação, temos os elementos de A . Na outra, temos os elementos de B . Mas será se são distintas mesmo?

Passo 2

É agora que iremos dar aquele pulo do gato na resolução!

O que aconteceria se fizermos a matriz B ser a matriz transposta de A , isto é, B = A t ? Será se o determinante vai continuar o mesmo? Vamos checar!

Se B = A t , os elementos da diagonal principal são iguais, isto é, b i j = a i j para todos i e j tais que i = j . Portanto, podemos escrever o determinante de B da seguinte forma:

det ⁡ B = a 11 a 22 a 33 + b 12 b 23 b 31 + b 13 b 21 b 32 - a 11 b 23 b 32 - b 13 a 22 b 31 - b 12 b 21 a 33

Agora, vamos transformar os outros elementos. Eles serão b j i = a i j para todos i e j tais que i ≠ j . Por exemplo, b 12 = a 21 e b 32 = a 23 . Então, fazendo esta mudança, temos:

b 12 b 23 b 31 = a 21 a 32 a 13 = a 13 a 21 a 32

b 13 b 21 b 32 = a 31 a 12 a 23 = a 12 a 23 a 31

a 11 b 23 b 32 = a 11 a 32 a 23 = a 11 a 23 a 32

b 13 a 22 b 31 = a 31 a 22 a 13 = a 13 a 22 a 31

b 12 b 21 a 33 = a 21 a 12 a 33 = a 12 a 21 a 33

Portanto,

det ⁡ B = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 11 a 23 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 12 a 21 a 33

Que é exatamente a mesma relação que utilizamos para calcular o determinante da matriz A ! Portanto, acabamos de verificar que det ⁡ A = det ⁡ B = det ⁡ A t .

Logo, provamos a relação pedida pela questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja A uma matriz de ordem n tal que A + A t = 0 . Provar que det ⁡ A = - 1 n det ⁡ A . Que acontece se n é ímpar?
Mostre que se det(AB) = 0, então ou A e singular ou B e singular.
O determinante de AB e igual ao determinante de BA? Justifique
Mostre que se A^t = A^(- 1) , então det (A) = +- 1 .
Mostre que se A k = 0 → , para algum k inteiro positivo, então A é singular.