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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.3 - Ex. 1

Provar que se A = (A_1 , . . . , A_n) e lambda_1 , . . . , lambda_n in R , então d e t (lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) = lambda_1 , . . . , lambda_n * d e t (A) .

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Vamos escrever uma matriz 3 xx 3 :

A = [[[3,1,0],[2,3,1],[4,2,1]]]

Agora vamos fazer o determinante, por ser uma matriz 3 xx 3 vamos primeiro repetir os termos da primeira e segunda coluna, e depois multiplicar os elementos da diagonal principar e fazer a subtração dos elementos da matriz secundária:

|[[3,1,0],[2,3,1],[4,2,1]]| [[3,1],[2,3],[4,2]]

det (A) = 9 + 4 + 0 - 0 - 6 - 2

det (A) = 13 - 8

det (A) = 5

lambda_1 , . . . , lambda_n * d e t (A) = 5 lambda

Passo 2

Agora vamos fazer o determinante para lambda A :

lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n = [[[3,lambda,1,lambda,0,lambda],[2,3,1],[4,2,1]]]

|[[3,lambda,1,lambda,0,lambda],[2,3,1],[4,2,1]]| [[3,lambda,1,lambda],[2,3],[4,2]]

det (A lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) = 9 + 4 lambda + 0 - 0 - 6 lambda - 2 lambda

det (A lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) = 13 lambda - 8 lambda

det (A lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) = 5 lambda

Passo 3

Como obtevemos tanto para lambda_1 , . . . , lambda_n * d e t (lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) como det (A lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) o valor de 5 lambda , temos que:

det (A lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) = lambda_1 , . . . , lambda_n * d e t (lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n)

Molezinha, não?

Até a próxima questão!!!

Resposta

det (A lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) = 5 lambda

lambda_1 , . . . , lambda_n * d e t (A) = 5 lambda

det (A lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) = lambda_1 , . . . , lambda_n * d e t (lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n)

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Sem cálculo, provar que a matriz 3 - 6 x 1 - 2 y 2 - 4 z tem determinante igual a zero quaisquer que sejam x ,y ,z ∈ R .
Seja A uma matriz de ordem 3. Provar diretamente que det ⁡ A = det ⁡ A t .
Compare det (A_1 , ... , A_n) e det (A_1 , A_1 + A_2 , A_1 + A_3 , ... , A_1 + A_n) .
Provar que det ⁡ A = 0 sendo A = 1 cos ⁡ a c o s ⁡ 2 a cos ⁡ a cos ⁡ 2 a cos ⁡ 3 a cos ⁡ 2 a cos ⁡ 3 a cos ⁡ 4 a