Provar que se A = (A_1 , . . . , A_n) e lambda_1 , . . . , lambda_n in R , então d e t (lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) = lambda_1 , . . . , lambda_n * d e t (A) .

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Vamos escrever uma matriz 3 xx 3 :

A = [[[3,1,0],[2,3,1],[4,2,1]]]

Agora vamos fazer o determinante, por ser uma matriz 3 xx 3 vamos primeiro repetir os termos da primeira e segunda coluna, e depois multiplicar os elementos da diagonal principar e fazer a subtração dos elementos da matriz secundária:

|[[3,1,0],[2,3,1],[4,2,1]]| [[3,1],[2,3],[4,2]]

det (A) = 9 + 4 + 0 - 0 - 6 - 2

det (A) = 13 - 8

det (A) = 5

lambda_1 , . . . , lambda_n * d e t (A) = 5 lambda

Passo 2

Agora vamos fazer o determinante para lambda A :

lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n = [[[3,lambda,1,lambda,0,lambda],[2,3,1],[4,2,1]]]

|[[3,lambda,1,lambda,0,lambda],[2,3,1],[4,2,1]]| [[3,lambda,1,lambda],[2,3],[4,2]]

det (A lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) = 9 + 4 lambda + 0 - 0 - 6 lambda - 2 lambda

det (A lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) = 13 lambda - 8 lambda

det (A lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) = 5 lambda

Passo 3

Como obtevemos tanto para lambda_1 , . . . , lambda_n * d e t (lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) como det (A lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) o valor de 5 lambda , temos que:

det (A lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) = lambda_1 , . . . , lambda_n * d e t (lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n)

Molezinha, não?

Até a próxima questão!!!

Resposta

det (A lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) = 5 lambda

lambda_1 , . . . , lambda_n * d e t (A) = 5 lambda

det (A lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n) = lambda_1 , . . . , lambda_n * d e t (lambda_1 A_1 , . . . , lambda_n A_n)

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