Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso.f) π contém P = 1 ,- 1 ,1 e r : X = 0 ,2 ,2 + λ ( 1 ,1 ,- 1 )

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 14.Exercício - Ex. 29f

Obtenha uma equação geral do plano em cada caso.

f) contém e

Passo 1

Queremos uma equação geral do plano, então vamos precisar do seu vetor normal certo?

Sabemos que o plano passa por e também passa por , que é um ponto da reta como podemos ver pela sua equação.

Além disso, um dos vetores diretores do plano é o vetor diretor da reta , como também podemos ver na sua equação.

Para encontrar o vetor normal, vamos fazer o produto vetorial de e , pois esse produto será perpendicular aos dois vetores, que são paralelos ao plano, e então serão paralelos ao plano em si hahaha

Temos:

Calculando o produto vetorial:

Então é um vetor normal do plano que queremos :D

Logo, a equação é escrita assim:

Mas e pra acharmos ??

Passo 2

Pra encontrarmos , podemos substituir o ponto ou na equação do plano, olha:

Então a equação é:

Resposta

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Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P .a) r : X = 1 ,1 ,0 + λ 0 ,1 ,1π : x - y - z = 2

Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P .b) r : x - 1 2 = y = zπ : X = 3 ,0 ,1 + λ 1 ,0 ,1 + μ ( 2 ,2 ,0 )

Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P .e) r : X = 0 ,0 ,0 + λ 1 ,4 ,1π : X = 1 ,- 1 ,1 + λ 0 ,1 ,2 + μ ( 1 ,- 1 ,0 )

Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P .f) r : x + 2 3 = y - 1 = z + 3 3π : 3 x - 6 y - z = 0

Calcule m e n para que r esteja contida em pi .a) r : X = (n , 2 , 0) + lambda (2 , m , m) pi : x - 3 y + z = 1 b) r : X = (m , 3 , n) + lambda (1 , 1 , n) pi : n x - n y + m z = 1