Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso.

e) π contém P = 1 ,   0 ,   - 1 e r : x - 1 2 = y 3 = 2 - z

Passo 1

Queremos uma equação geral do plano, então vamos precisar do seu vetor normal certo?

Sabemos que o plano passa por P = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) e também passa por A = ( 1 ,   0 ,   2 ) , que é um ponto da reta como podemos ver pela sua equação.

Além disso, um dos vetores diretores do plano é o vetor diretor da reta u → = ( 2 ,   3 ,   - 1 ) , como também podemos ver na sua equação.

Para encontrar o vetor normal, vamos fazer o produto vetorial de A P → e u → , pois esse produto será perpendicular aos dois vetores, que são paralelos ao plano, e então serão paralelos ao plano em si hahaha

Temos:

A P → = P - A = ( 0 ,   0 ,   - 3 )

Calculando o produto vetorial:

0 ,   0 ,   - 3 ∧ 2 ,   3 ,   - 1 = ( 9 ,   - 6 ,   0 )

Então ( 9 ,   - 6 ,   0 ) é um vetor normal do plano que queremos :D

Logo, a equação é escrita assim:

9 x - 6 y + 0 z + d = 0

Mas e pra acharmos d ??

Passo 2

Pra encontrarmos d , podemos substituir o ponto A ou P na equação do plano, olha:

9 . 1 - 6 . 0 + 0 . 2 + d = 0

d = - 9

Então a equação é:

9 x - 6 y - 9 = 0

Dividindo por 3:

3 x - 2 y - 3 = 0

Resposta

e) 3 x - 2 y - 3 = 0

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