Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 31
Sejam , , e . Obtenha uma equação geral do plano paralelo ao plano que intercepta as retas , e em pontos que são vértices de um triângulo de área .
Passo 1
O primeiro passo aqui é encontrar a equação do plano que passa por , e .
Lembra como faz para encontrar a equação de um plano dado três pontos que estão nele?
Temos que imaginar um ponto qualquer:
E supor que, se esse ponto está no plano com , e , então:
(Poderia fazer de outras formas também! O importante é escrever o produto misto).
Ou seja, o produto misto desses três vetores tem que ser zero, porque isso mostra que eles são coplanares.
Vamos escrever as coordenadas desses três vetores:
Passo 2
E então podemos usar um determinante para calcular esse produto misto:
Calculando esse determinante:
Tirando os termos que se anulam:
Essa é a equação geral do plano que contém os pontos.
Passo 3
Como a gente encontra os planos paralelos a esse? É só ajustar por uma constante!
Então qualquer ponto que tenha essa forma aqui:
Para algum , é paralelo ao nosso plano. Inclusive podemos juntar em uma constante só:
Então esses são os planos paralelos com que vamos trabalhar.
Passo 4
Outra coisa que o enunciado quer é formar um triângulo de área com os pontos em que esse plano intercepta essas retas aqui:
Onde , e são parâmetros livres.
Quais pontos da reta interceptam o nosso plano? Bom, vamos substituir na forma geral:
E na reta :
E na reta :
Então tá, os pontos em que o plano cruza essas retas são:
Beleza, agora temos que lembrar da última condição.
Passo 5
O enunciado pediu o plano que passe por esses três pontos para formar um triângulo de área
Como se calcula a área de um triângulo formado por três pontos , e ? A fórmula é essa aqui:
Então vamos logo fazer essa conta para três pontos quaisquer nas retas , e :
Então o produto vetorial é:
E a norma desse produto vetorial é:
Voltando na equação de cima, queremos que a área seja , então:
Multiplicando os dois lados por dois:
E colocando em evidência dentro da raiz:
Tirando a raiz do lado esquerdo:
Então temos duas soluções possíveis para o nosso plano:
Pronto!
Resposta
As duas soluções possíveis são e .