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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 15.Exercício - Ex. 10

Obtenha uma equação vetorial da intersecção dos planos π 1 e π 2 , se esta não for vazia.

a) π 1 : X = 1 ,   - 2 ,   0 + λ 1 ,   0 ,   - 1 + μ 0 ,   0 ,   - 1 ;           π 2 : X = 1 ,   0 ,   3 + λ 1 ,   2 ,   0 + μ ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

b) π 1 : X = 1 ,   0 ,   0 + λ - 1 , 1 ,   0 + μ 1 ,   0 ,   1 ;           π 2 : X = 1 ,   - 1 ,   - 2 + λ 1 ,   0 ,   1 + μ ( 0 ,   1 ,   1 )

c) π 1 : X = 4 ,   4 ,   - 2 + λ 2 ,   2 ,   - 1 + μ 0 ,   1 ,   4 ;           π 2 : X = - 4 ,   - 2 ,   10 + λ 4 ,   5 ,   2 + μ ( 6 ,   8 ,   5 )

d) π 1 : X = 1 ,   0 ,   0 + λ 0 ,   1 ,   1 + μ 1 ,   2 ,   1 ;           π 2 : X = 0 ,   0 ,   0 + λ 0 ,   3 ,   0 + μ ( - 2 ,   - 1 ,   - 1 )

Passo 1

a) Vamos encontrar as equações gerais dos planos:

π 1 :   x - 1 y + 2 z 1 0 - 1 0 0 - 1 = y + 2 = 0

π 2 :   x - 1 y z - 3 1 2 0 - 1 1 - 1 = 2 x + y + 3 z - 7 = 0

Da equação geral de π 1 , temos y = - 2 , substituindo na equação de π 2 :

2 x - 2 + 3 z - 7 = 0

2 x + 3 z - 9 = 0

x = - 3 z + 9 2

Então, a intersecção entre os planos é algo do tipo:

x ,   y ,   z = - 3 z + 9 2 ,   - 2 ,   z

Transformando z no parâmetro λ , encontramos que a intersecção é a reta:

x ,   y ,   z = 9 2 ,   - 2 ,   0 + λ - 3 2 ,   0 ,   1

Passo 2

b) Vamos encontrar as equações gerais dos planos:

π 1 :   x - 1 y z - 1 1 0 1 0 1 = x + y - z - 1 = 0

π 2 :   x - 1 y + 1 z - 2 1 0 1 0 1 1 = - x - y + z - 2 = 0

Para encontrarmos a intersecção entre os planos, precisamos resolver o sistema:

x + y - z - 1 = 0 - x - y + z - 2 = 0

Somando as duas equações, temos:

- 3 = 0

Opa, nossos parâmetros sumiram e chegamos em uma desigualdade pois - 3 ≠ 0 .

Isso acontece porque se repararmos nas equações gerais, o vetor normal dos dois planos é o mesmo, logo, eles são paralelos, e planos paralelos não se encontram nunca hahaha

Passo 3

c) Vamos encontrar as equações gerais dos planos:

π 1 :   x - 4 y - 4 z + 2 2 2 - 1 0 1 4 = 9 x - 8 y + 2 z = 0

π 2 :   x + 4 y + 2 z - 10 4 5 2 6 8 5 = 9 x - 8 y + 2 z = 0

Eita, os dois planos são os mesmos hehehe então a intersecção entre eles é o próprio plano :)

Passo 4

d) Vamos encontrar as equações gerais dos planos:

π 1 :   x - 1 y z 0 1 1 1 2 1 = - x + y - z + 1 = 0

π 2 :   x y z 0 3 0 - 2 - 1 - 1 = - 3 x + 6 z = 0

Da equação geral de π 2 , temos x = 2 z , substituindo na equação de π 1 :

- 2 z + y - z + 1 = 0

y = 3 z - 1

Então, a intersecção entre os planos é algo do tipo:

x ,   y ,   z = 2 z ,   3 z - 1 ,   z

Transformando z no parâmetro λ , encontramos que a intersecção é a reta:

x ,   y ,   z = 0 ,   - 1 ,   0 + λ 2 ,   3 ,   1

Resposta

a) X = 9 2 ,   - 2 ,   0 + λ - 3 2 ,   0 ,   1

b) Não há intersecção.

c) A intersecção é o próprio plano, pois os dois planos são iguais.

d) X = 0 ,   - 1 ,   0 + λ 2 ,   3 ,   1

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