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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 1b

Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém P e é concorrente com r e s .

P = - 2 ,   2 ,   - 4                           r : X = - 1 ,   1 ,   3 + λ   ( - 2 ,   - 2 ,   2 )                       s : X = - 2 ,   4 ,   4 + λ   ( 1 ,   2 ,   3 )

Passo 1

Nós queremos achar uma reta que contenha P e seja concorrente a r e s . Como já temos P , falta apenas encontrar o vetor diretor e já temos nossa reta t .

O problema fica muito mais simples se escrevemos as retas r e s na forma vetorial. Para nossa sorte, nesse caso elas já estão nessa forma!

Um ponto genérico A pertencendo a reta r deve satisfazer

A = ( - 1 - 2 μ ,   1 - 2 μ ,   3 + 2 μ )

Já um ponto B pertencendo a reta s deve satisfazer

B = - 2 + λ ,   4 + 2 λ ,   4 + 3 λ

Passo 2

Para que a reta t seja concorrente com as retas r e s , ela deve intercepta-las. Vamos supor que esse pontos são A e B , respectivamente. Assim, P ,   A e B devem ser colineares. Portanto,

P A → = k   P B →

Os vetores são dados por

P A → = A - P = ( 1 - 2 μ ,   - 1 - 2 μ ,   7 + 2 μ )

P B → = B - P = ( λ ,   2 + 2 λ ,   8 + 3 λ )

Assim,

( 1 - 2 μ ,   - 1 - 2 μ ,   7 + 2 μ ) = k   ( λ ,   2 + 2 λ ,   8 + 3 λ )

Portanto,

1 - 2 μ = k λ - 2 μ - 1 = 2 k ( λ + 1 ) 7 + 2 μ = k ( 3 λ + 8 )

Passo 3

Note que

k λ = 1 - 2 μ

Substituindo isso na segunda equação:

- 2 μ - 1 = 2 1 - 2 μ + 2 k ⇒ - 2 μ - 1 = 2 - 4 μ + 2 k ⇒ 2 μ = 3 + 2 k

Na terceira:

7 + 2 μ = 3 1 - 2 μ + 8 k ⇒ 7 + 2 μ = 3 - 6 μ + 8 k ⇒ 8 μ + 4 = 8 k ⇒ 2 k = 2 μ + 1

Substituindo 2 k de volta na segunda equação:

2 μ = 3 + 2 μ + 1 ⇒ 0 μ = 4

Essa equação não tem solução real de modo que não uma reta t que passe por P e seja concorrente a r e a s .

Resposta

Não existe.

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