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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 1d

Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém P e é concorrente com r e s .

P = 1 ,   - 2 ,   - 1                           r : z = x - 2 y = 1 - x                     s : z = x - 1 y = 1 + 2 x

Passo 1

Nós queremos achar uma reta que contenha P e seja concorrente a r e s . Como já temos P , falta apenas encontrar o vetor diretor e já temos nossa reta t .

O problema fica muito mais simples se escrevemos as retas r e s na forma vetorial. Note que para a reta r , temos

x ,   y ,   z = x ,   1 - x ,   x - 2 = 0 ,   1 ,   - 2 + x   ( 1 ,   - 1 ,   1 )

Um ponto genérico A pertencendo a reta r deve satisfazer

A = ( μ ,   1 - μ ,   μ - 2 )

Para a reta s , temos

x ,   y ,   z = x ,   2 x + 1 ,   x - 1 = 0 ,   1 ,   - 1 + x   ( 1 ,   2 ,   1 )

Já um ponto B pertencendo a reta s deve satisfazer

B = λ ,   1 + 2 λ ,   - 1 + λ

Passo 2

Para que a reta t seja concorrente com as retas r e s , ela deve intercepta-las. Vamos supor que esse pontos são A e B , respectivamente. Assim, P ,   A e B devem ser colineares. Portanto,

P A → = k   P B →

Os vetores são dados por

P A → = A - P = ( μ - 1 ,   3 - μ ,   μ - 1 )

P B → = B - P = ( λ - 1 ,   3 + 2 λ ,   λ )

Assim,

( μ - 1 ,   3 - μ ,   μ - 1 ) = k   ( λ - 1 ,   3 + 2 λ ,   λ )

Portanto,

μ - 1 = k ( λ - 1 ) 3 - μ = k ( 2 λ + 3 ) μ - 1 = k λ

Passo 3

Note que

k λ = μ - 1

Substituindo isso na primeira equação:

μ - 1 = μ - 1 - k ⇒ k = 0

Como k = 0 , o sistema fica

μ - 1 = 0 3 - μ = 0

Esse sistema não tem solução: isso significa que não existe a reta t que passe por P e seja concorrente com r e s .

Resposta

Não existe.

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