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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 7

Obtenha uma equação vetorial da reta paralela ao plano π : 2 x - y - z + 1 = 0 , concorrente com as retas r : X = 1 ,   0 ,   0 + λ ( 1 ,   1 ,   0 ) e s : X = 0 ,   1 ,   0 + λ ( 0 ,   1 ,   1 ) , que forma com elas ângulos congruentes.

Passo 1

Vamos chamar de t a reta que queremos encontrar, r → = ( 1 ,   1 ,   0 ) (vetor diretor de r ), s → = ( 0 ,   1 ,   1 ) (vetor diretor de s ).

t tem um vetor diretor ( a ,   b ,   c ) , agora vamos analisar as informações que temos:

- Se t é paralela ao plano π , ela é ortogonal ao seu vetor normal, ou seja:

a ,   b ,   c . 2 ,   - 1 ,   - 1 = 0

2 a - b - c = 0     ( I )

Passo 2

- Vamos chamar de α o ângulo entre t e r , calculando o ângulo entre seus vetores diretores:

c o s α = a ,   b ,   c . 1 ,   1 ,   0 | | ( a ,   b ,   c ) | | . | | ( 1 ,   1 ,   0 ) | |   = a + b a 2 + b 2 + c ² + 2

- Vamos chamar de θ o ângulo entre t e s , calculando o ângulo entre seus vetores diretores:

c o s θ = a ,   b ,   c . 0 ,   1 ,   1 | | ( a ,   b ,   c ) | | . | | ( 0 ,   1 ,   1 ) | |   = b + c a 2 + b 2 + c ² + 2

- Mas o enunciado falou que a reta t forma ângulos congruentes, ou seja, iguais com r e s , então α = θ → cos ⁡ α = cos ⁡ θ :

a + b a 2 + b 2 + c ² + 2 = b + c a 2 + b 2 + c ² + 2

Como os denominadores são iguais:

a + b = b + c

a = c   ( I I )

Passo 3

Substituindo ( I I ) em ( I ) , temos

2 c - b - c = 0

c - b = 0

b = c

Ou seja, o vetor diretor de t é do tipo ( c ,   c ,   c )

E olha só que incrível, pra qualquer valor de c que colocarmos nesse vetor, vamos chegar no vetor diretor correto cara!! Porque vai ser sempre LD e tal hahaha

Então vamos escolher nosso vetor diretor como t → = ( 2 ,   2 ,   2 ) , pode ser?

Passo 4

Agora vamos estudar o fato de nossa reta t ser concorrente com r e com s .

Seja P = ( d ,   e ,   f ) um ponto de t , R = ( 1 ,   0 ,   0 ) ponto da reta r (pela sua equação), S = ( 0 ,   1 ,   0 ) ponto da reta s (pela sua equação também haha), temos:

P R → = R - P = ( 1 - d ,   - e ,   - f )

P S → = S - P = ( - d ,   1 - e ,   - f )

Para que t e r sejam concorrentes, a trinca ( r → ,   t → ,   P R → ) deve ter determinante igual a 0:

1 1 0 2 2 2 1 - d - e - f = - 2 d + 2 e + 2 = 0     ( I I I )

Para que t e s sejam concorrentes, a trinca ( s → ,   t → ,   P S → ) deve ter determinante igual a 0:

0 1 1 2 2 2 - d 1 - e - f = 2 f - 2 e + 2 = 0     ( I V )

Passo 5

Somando as equações ( I I I ) e ( I V ) , temos

- 2 d + 2 f + 2 + 2 = 0

- 2 d + 2 f + 4 = 0

- d + f + 2 = 0

f = d - 2

Substituindo f na equação ( I V ) :

2 d - 2 - 2 e + 2 = 0

2 d - 4 - 2 e + 2 = 0

d - 2 - e + 1 = 0

e = d - 1

Então, podemos “escolher” o ponto de t que vamos usar na nossa equação desde que e = d - 1 e f = d - 2 .

Seja d = 4 , temos e = 3 e f = 2 , e o ponto será ( 4 ,   3 ,   2 )

Logo, uma das equações da nossa reta é

t : X = 4 ,   3 ,   2 + λ ( 2 ,   2 ,   2 )

Lembrando: há varias maneiras de escrever essa equação, a sua pode estar certa. É só conferir se os vetores são LI e se seu ponto pertence à reta acima.

Abaixo temos em vermelho a reta r , em azul a reta s e em preto a nossa querida reta t :)

Resposta

t : X = 4 ,   3 ,   2 + λ ( 2 ,   2 ,   2 )

Lembrando: há varias maneiras de escrever essa equação, a sua pode estar certa. É só conferir se os vetores são LI e se seu ponto pertence à reta acima. Aliás, essa reta é a mesma do gabarito do seu livro :)

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Obtenha uma equação vetorial da reta que forma ângulos congruentes com os eixos coordenados e é concorrente com r : 2 x - 2 = 3 y - 3 = - 2 z e s : - 1,1 , 0 + λ 5,3 , 1 .
O triângulo ABC é retângulo em B e está contido no plano π 1 : x + y + z = 1 . O cateto BC está contido no plano π 2 : x - 2 y - 2 z = 0 e o ângulo C ^ mede 30°. Dado A = 0,1 , 0 , determine B e C e c
15. Determinar o valor de n para que seja de 30 ° o ângulo entre as retas r : x - 2 4 = y + 4 5 = z 3 e s : y = n x + 5 z = 2 x - 2
14. Determinar o ângulo entre as seguintes restas:(a) r : x = - 2 - 2 t y = 2 t z = 3 - 4 t e s : x 4 = y + 6 2 = z - 1 2 (b) r :y = - 2 x - 1 z = x + 2 e s : y 3 = z + 1 - 3 ; x = 2 (c) r : x = 1 + 2
17. A reta r : x = 1 + 2 t y = t z = 3 - t Forma um ângulo de 60° com a reta determinada pelos pontos A 3,1 , - 2 e B 4,0 , m . Calcular o valor de m.