Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 5c

Obtenha o ponto simétrico do ponto P em relação à reta r , nos casos:

P = 0 ,   0 ,   - 1                                 r : x - y - z = 0 = 2 x + 3 y - 1

Passo 1

O exercício que que achemos o ponto simétrico de P em relação a reta r . Para isso, temos que achar a projeção Q de P sobre a reta r . Assim, vamos tomar Q = ( x ,   y ,   z ) , de modo que

Q P → = 0 ,   0 ,   - 1 - x ,   y ,   z = ( - x ,   - y ,   - 1 - z )

Queremos que vetor seja ortogonal ao vetor diretor da reta r . Para isso, vamos achar primeiro a equação da reta r . Para z = 0 , temos x = y :

2 x + 3 x - 1 = 0 ⇒ x = y = 1 5 ⇒ A = 1 5 , 1 5 ,   0

Já para y = 0 , temos

x = z = 1 2 ⇒ B = 1 2 ,   0 , 1 2

Desta forma, o vetor diretor é

u → = 1 2 ,   0 , 1 2 - 1 5 , 1 5 ,   0 = 3 10 , - 1 5 , 1 2

Assim,

r : X = 1 5 , 1 5 ,   0 + λ   3 10 , - 1 5 , 1 2

O vetor   Q P → deve ser ortogonal a u → :

- x ,   - y ,   - 1 - z ⋅ 3 10 , - 1 5 , 1 2 = 0

Portanto,

- 3 x 10 + y 5 - 1 2 - z 2 = 0 ⇒ - 3 x + 2 y - 5 - 5 z = 0 ⇒ z = - 3 x 5 + 2 y 5 - 1

Assim,

Q = x ,   y ,   - 3 x 5 + 2 y 5 - 1

Passo 2

Além disso, o ponto Q deve pertencer a reta r , de modo que

x ,   y ,   3 x 5 - 2 y 5 + 1 = 1 5 + 3 λ 10 , 1 5 - λ 5 , λ 2

Caímos nos sistema:

x = 1 5 + 3 λ 10 y = 1 5 - λ 5 - 3 x 5 + 2 y 5 - 1 = λ 2

Substituindo as primeiras duas equações na última:

- 3 5 1 5 + 3 λ 10 + 2 5 1 5 - λ 5 - 1 = λ 2

Logo,

- 3 25 - 9 λ 50 + 2 25 - 2 λ 25 - 1 = λ 2 ⇒ - 26 25 - 13 λ 50 = λ 2

Fazendo o mmc:

- 52 - 13 λ = 25 λ ⇒ λ = - 52 38 = - 26 19

Portanto,

x = 1 5 + 3 10 ⋅ - 26 19 = 1 5 - 78 190 = - 40 190 = - 4 19

y = 1 5 - 1 5 ⋅ - 26 19 = 1 5 1 + 26 19 = 9 19

z = - 3 5 - 4 19 + 2 5 9 19 - 1 = 12 + 1 8 - 95 95 = - 6 5 95 = - 13 19

Logo,

Q = - 4 19 , 9 19 , - 13 19

Passo 3

O ponto P ' simétrico de P com relação a reta r é tal que

Q = P + P ' 2

isto é, Q é o ponto médio de P e P ' . Assim,

P ' = 2 Q - P

Portanto,

P ' = - 8 19 , 18 19 , - 26 19 - 0 ,   0 ,   - 1 = - 8 19 , 18 1 9 , - 7 1 9

Resposta

P ' = - 8 19 , 18 19 , - 7 19

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha uma equação vetorial da reta concorrente com r e s e é paralela à reta h . r : X = 1,1 , - 1 + λ 2,1 , - 1s : x + y - 3 z = 1 2 x - y - 2 z = 0h contém A = 1 , - 1,4 e B = 0 , - 3 , - 1 . r :
6. Determinar as equações reduzidas, com variável independente x , da reta que passa pelo ponto A 4,0 , - 3 e tem direção do vetor v = 2 i + 4 j + 5 k .
7. Estabelecer as equações reduzidas (variável independente x ) da reta determinada pelos pares de pontos:a) A ( 1 , - 2 , , 3 ) e B 3 , - 1 , - 1 b) A - 1,2 , 3 e B 2 , - 1,3
7. Estabelecer as equações reduzidas (variável independente x ) da reta determinada pelos pares de pontos:a) A ( 1,2 , , 3 ) e B 3 , - 1 , - 1 b) A - 1,2 , 3 e B 2 , - 1,3
2. Determinar o ponto da reta r : x = 2 - t y = 3 + t z = 1 - 2 t Que tem absissa 4.