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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 92

Obtenha um vetor tangente, um vetor normal, e equações das retas tangente e normal à parábola P : x 2 = 4 p y no ponto T = h , k .

Passo 1

Primeiramente, o livro nos sugere um vetor tangente e normal para os casos em que temos equações reduzidas de parábola (que é o nosso caso) e esses vetores são

t → = 2 p , h   e   n → = h , - 2 p

Sendo assim, essa parte do nosso problema fica resolvida logo de imediato o que é um alívio, tendo em vista que é menos uma coisa para nos preocuparmos.

Passo 2

Pois bem, haja vista que já temos os vetores tangente e normal, podemos equacionar a nossa reta tangente utilizando a fórmula prática ensinada no livro. Tomemos inicialmente a nossa parábola e vamos escrever sua equação da seguinte forma

x 2 = 4 p y → x ⋅ x = 2 p y + 2 p y

Agora, vamos substituir um x por h e um y por k obtendo, então, a equação da reta tangente que será

h x = 2 p y + 2 p k

Portanto, resta-nos encontrar a equação da reta normal que é a reta perpendicular à reta tangente. Para isso, devemos nos lembrar da relação entre os coeficientes angulares dessas duas retas que é dada por

m t ⋅ m n = - 1 → h 2 p ⋅ m n = - 1 → m n = - 2 p h

Pronto, temos um ponto T = h , k e um coeficiente angular podemos, então, equacionar a reta normal fazendo

y - k = - 2 p h ⋅ x - h → h y - h k = - 2 p x + 2 p h  

h y + 2 p x = h k + 2 p h

Pronto, está resolvido nosso exercício.

Resposta

T a n g e n t e   : t → = 2 p , h ,     h x = 2 p y + 2 p k

N o r m a l : n → = h , - 2 p ,     h y + 2 p x = h k + 2 p h  

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