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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 1.O tratamento algébrico - Ex. 41a

O ponto A é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são B , C e D . Sendo A A ' uma diagonal do paralelepípedo, determinar o ponto A ' nos seguintes casos:

A 3,5 , 0 , B 1,5 , 0 , C 3,5 , 4 e D 3,2 , 0

Passo 1

Primeiro vamos visualizar os pontos A , B , C , D e A ' , onde o ponto A é um dos vértices do paralelepípedo, os três vértices adjacentes são B , C e D , e A ' pertence a A A ' , que é uma diagonal do paralelepípedo:

Vamos ver agora os vetores A B → , A C → , A D →   e A A ' → :

Passo 2

Podemos ver pela imagem acima que dá pra achar o ponto A ' através do vetor A A ' , vamos então mover os vetores A C → e A D → de forma que A C → = B E → e A D → = E A ' , assim vamos achar uma maneira de achar A A ' → :

Agora dá pra ver que a diagonal pode ser calculada somando os vetores A B → , A C → e A D → , vamos calcular:

A A ' → = A B → + B E → + E A ' → = A B → + A C → + A D →

A B → = B - A = 1,5 , 0 - 3,5 , 0 = 1 - 3,5 - 5,0 - 0 = - 2,0 , 0

A C → = C - A = 3,5 , 4 - 3,5 , 0 = 3 - 3,5 - 5 , 4 - 0 = 0 , 0 , 4

A D → = D - A = 3,2 , 0 - 3,5 , 0 = 3 - 3 , 2 - 5 , 0 - 0 = 0 , - 3 , 0

Passo 3

Vamos agora substituir:

A A ' → = A B → + A C → + A D → = - 2,0 , 0 + 0,0 , 4 + 0 , - 3,0 =

= - 2 + 0 + 0 , 0 + 0 - 3,0 + 4 + 0 = - 2 , - 3 , 4

Agora vamos achar o ponto A ' :

A A ' → = A ' - A

A A ' → = - 2 , - 3,4 → A ' - A = - 2 , - 3,4 → A ' = - 2 , - 3,4 + A →

→ A ' = - 2 , - 3,4 + 3,5 , 0 → A ' = - 2 + 3 , - 3 + 5 , 4 + 0 → A ' = 1,2 , 4

Pronto, temos então o ponto A ' = 1,2 , 4 .

Resposta

A ' = 1,2 , 4

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