Enunciado

Reduzir cada uma das equações à forma canônica (caso não esteja), identificar a superfície e construir seu gráfico.

z 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 4

Passo 1

Fala meus consagrados, tudo na boa?

O primeiro passo para reduzir uma equação na forma canônica é fazer com que o valor contido no segundo termo da igualdade seja 1 .

Sendo a nossa equação:

z 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 4

Dividimos tudo por 4 :

z 2 4 - 4 x 2 4 - 4 y 2 4 = 4 4

Simplificando:

z 2 4 - x 2 - y 2 = 1

O próximo passo é analisar as fórmulas propostas pelo livro no capítulo 9 e fazer uma comparação superficial, para dizer qual o tipo da nossa equação.

Passo 2

De acordo com o capítulo 9, nós temos aqui a equação de um Hiperboloide de duas folhas. Quando dois termos são negativos e um termo é positivo:

- x 2 a 2 - y 2 b 2 = z 2 c 2 = 1

Dessa forma, nossa equação:

z 2 4 - x 2 - y 2 = 1

Trata-se de um hiperboloide de duas folhas com a = 1 ; b = 1 e c = 2 . Já temos tudo, agora é só montar o gráfico.

Passo 3

Os termos a , b e c são referentes a coordenada em que a elipse se encontra em cada um dos eixos. Isso significa que montaremos um gráfico em que x = 2 , y = 3 , z = 4 que são como se fossem “raios” em cada um dos eixos.

Usando uma calculadora gráfica, como é o caso do Geogebra (online), teremos a seguinte superfície:

Tranquilo?

Resposta

Hiperboloide de duas folhas,   z 2 4 - x 2 - y 2 = 1

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