Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 14.Exercício - Ex. 31
Supondo que o sistema de coordenadas seja ortogonal, obtenha equações gerais dos seis planos bissetores dos diedros determinados pelos planos coordenados.
Passo 1
Bora lá!
Para que encontremos os planos bissetores dos diedros formados pelos planos coordenados, precisaremos de algumas definições de geometria espacial.
Falando das definições...
Um plano bissetor de um diedro é tal que o divida em dois ângulos iguais. Como os diedros são formados pelos planos coordenados, no caso do exercício, são diedros retos. Obrigatoriamente, todos os planos bissetores terão de conter o ponto
Além disso, para cada par de planos, teremos dois diedros bissetores (o ímpar e o par), conforme na geometria plana. Vamos começar a analisá-los por pares.
Passo 2
Iniciemos pelo diedro determinado pelos planos:
Tomemos os pontos;
Como os pontos pertencem respectivamente ao primeiro, segundo e a ambos os planos e são coplanares, podemos afirmar que:
Passo 3
A partir dos pontos e e sabendo seu ângulo, podemos obter um reta bissetriz do ângulo, que também é bissetora aos planos dados, cuja equação pode ser expressa por:
Sabendo que o plano bissetor contém a reta e passa pela origem, podemos determinar sua equação. Logo:
Achamos a primeira equação do plano.
Acabou? Claro que não, achamos uma de seis equações de nosso interesse. Então, vamos continuar.
Passo 4
Como os dois planos bissetores do diedro dado, digamos são ORTOGONAIS entre si, podemos utilizar a relação entre os vetores normais de dois planos perpendiculares para obter a equação do segundo plano, isto é:
Assim, sabendo que o plano também passa pela origem, temos:
Olha aí nossa segunda equação do plano.
Passo 5
De maneira análoga, prosseguiremos com os demais diedros. Agora, vamos partir para o diedro formado pelos planos:
Tomando os pontos:
Tais que, pelas mesmas razões anteriores, obedecem:
Podemos escrever a reta bissetriz do ângulo formado pelos pontos dada por:
Pela mesma razão anterior, podemos escrever, a partir da reta e do ponto, a equação do plano bissetor do diedro, na forma:
Já foi metade, sem desânimo, vamos prosseguir.
Como os planos têm de ser penpendiculares, aplicando o mesmo raciocínio, podemos chegar na conclusão que:
Passo 6
Por fim (até que fim), vamos trabalhar com o último diedro, formado pela intersecção dos planos:
E com os pontos:
Pela mesma lógica já usada, vamos escolher os pontos que satisfaçam . Dessa forma, podemos determinar a equação bissetriz do ângulo, dada por:
A partir de um ponto e de uma equação de uma reta, podemos determinar um plano. Temos, então:
De modo análogo ao anteriormente feito, podemos usar da perpendicularidade dos planos bissetores para deduzir a última equação do plano que falta:
Resposta
Escrevendo as seis equações pedidas, temos: