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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 03

Seja Ω : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 . Deduza uma condição sobre os números a ,   b ,   c para que:

  1. as intersecções de Ω com planos paralelos a O x y sejam elipses semelhantes.
  2. as intersecções de Ω com planos paralelos a O x y sejam elipses semelhantes às interseções com planos paralelos a O x z .

Passo 1

  1. Planos paralelos à O x y são planos do tipo z = k . Assim,

    2. x 2 a 2 + y 2 b 2 + k 2 c 2 = 1 ⟺ x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 - k 2 c 2 ⟹ x 2 a 2 1 - k 2 c 2 + y 2 b 2 1 - k 2 c 2 = 1

    Note que k está variando. Assim, para que elipses sejam semelhantes:

    a 2 1 - k 1 2 c 2 a 2 1 - k 2 2 c 2 = b 2 1 - k 1 2 c 2 b 2 1 - k 2 2 c 2

    Note que a igualdade acima vale para todo k 1 , k 2 . Assim, a única condição que devemos ter é a ≠ b , pois caso contrário teríamos uma circunferência.

    Passo 2

  2. Para o plano O x y , temos planos do tipo z = k 1 . Assim, temos a elipse

x 2 a 2 1 - k 1 2 c 2 + y 2 b 2 1 - k 1 2 c 2 = 1

Para o plano O x z , temos y = k 2 . Assim, temos a elipse

x 2 a 2 1 - k 2 2 b 2 + z 2 c 2 1 - k 2 2 b 2 = 1

Notamos que as elipses serão semelhantes se

c 2 = b 2 ⟹ c = b

Além disso, deveremos ter tais números diferentes de a , já que se fossem iguais teríamos circunferências. Logo,

a ≠ c = b

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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