Suponha que o sistema de coordenadas seja ortogonal, e que P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 e P 6 sejam, respectivamente, as projeções ortogonais de P = ( x ,   y ,   z ) sobre O x y , O x z , O y z , O x , O y e O z .

a) Escreva as coordenadas de P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 e P 6 .

b) Se P é um dos vértices de um cubo de centro O e faces paralelas aos planos coordenados, escreva as triplas de coordenadas dos outros sete vértices.

Passo 1

No item (a) queremos achar a projeção do ponto P = ( x ,   y ,   z ) sobre os planos e eixos coordenados. No plano O x y , a projeção tem z = 0 :

P 1 = ( x ,   y ,   0 )

No plano O x z , vamos ter y = 0 :

P 2 = ( x ,   0 ,   z )

E no plano O y z , teremos x = 0 :

P 3 = ( 0 ,   y ,   z )  

Já no eixo O x , termos x y = z = 0 :

P 4 = ( x ,   0 ,   0 )

Analogamente,

P 5 = ( 0 ,   y ,   0 )

P 6 = ( 0 ,   0 ,   z )

Passo 2

No item (b), o ponto P = ( x ,   y ,   z ) junto com outros sete pontos serão vértices de um cubo com centro na origem e faces paralelas aos planos coordenados. Para achar os outros sete pontos, basta fazer todas as combinações possíveis com os sinais de x , y e z :

- x ,   y ,   z ,             x ,   - y ,   z ,             x ,   y ,   - z

- x ,   - y ,   z ,                 - x ,   y ,   - z ,                 ( x ,   - y ,   - z )

( - x ,   - y ,   - z )

Resposta

P 1 = ( x ,   y ,   0 )

P 2 = ( x ,   0 ,   z )

P 3 = ( 0 ,   y ,   z )  

P 4 = ( x ,   0 ,   0 )

P 5 = ( 0 ,   y ,   0 )

P 6 = ( 0 ,   0 ,   z )

- x ,   y ,   z ,             x ,   - y ,   z ,             x ,   y ,   - z

- x ,   - y ,   z ,                 - x ,   y ,   - z ,                 ( x ,   - y ,   - z )

( - x ,   - y ,   - z )

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