Suponha que o sistema de coordenadas seja ortogonal, e que P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 e P 6 sejam, respectivamente, as projeções ortogonais de P = ( x ,y ,z ) sobre O x y , O x z , O y z , O x , O y e O z .a) Escreva as coordenadas de P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 e P 6 .b) Se P é um dos vértices de um cubo de centro O e faces paralelas aos planos coordenados, escreva as triplas de coordenadas dos outros sete vértices.

P 1 = ( x ,y ,0 ) P 2 = ( x ,0 ,z ) P 3 = ( 0 ,y ,z ) P 4 = ( x ,0 ,0 ) P 5 = ( 0 ,y ,0 ) P 6 = ( 0 ,0 ,z ) - x ,y ,z , x ,- y ,z , x ,y ,- z - x ,- y ,z , - x ,y ,- z , ( x ,- y ,- z ) ( - x ,- y ,- z )

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 13.Exercício - Ex. 5

Suponha que o sistema de coordenadas seja ortogonal, e que , , , , e sejam, respectivamente, as projeções ortogonais de sobre , , , , e .

a) Escreva as coordenadas de , , , , e .

b) Se é um dos vértices de um cubo de centro e faces paralelas aos planos coordenados, escreva as triplas de coordenadas dos outros sete vértices.

Passo 1

No item (a) queremos achar a projeção do ponto sobre os planos e eixos coordenados. No plano , a projeção tem :

No plano , vamos ter :

E no plano , teremos :

Já no eixo , termos x:

Analogamente,

Passo 2

No item (b), o ponto junto com outros sete pontos serão vértices de um cubo com centro na origem e faces paralelas aos planos coordenados. Para achar os outros sete pontos, basta fazer todas as combinações possíveis com os sinais de , e :

Resposta

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Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas, A = ( 1 ,2 ,- 1 ) , B = ( 0 ,1 ,1 ) e C = ( 2 ,0 ,0 ) . Mostre que A , B e C são vértices de um triângulo equilátero.

Seja P = ( x ,y ,z ) . Complete:a) O ponto P 1 = ( x ,y ,0 ) é a projeção de P sobre o plano coordenado .............. segundo a direção do eixo coordenado ..................... .b) O ponto P 2 = ( x

Sejam A = x 1 ,y 1 ,z 1 , B = x 2 ,y 2 ,z 2 e C = ( x 3 ,y 3 ,z 3 ) pontos quaisquer. Examine se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes. Justifique sua resposta e interprete geometricamente

Mostre que os pontos A = ( 2 ,6 ,- 5 ) , B = ( 6 ,9 ,7 ) , C = ( 5 ,5 ,0 ) e D = ( 3 ,10 ,2 ) são vértices de um paralelogramo.

a) Dados A = ( 2 ,5 ,3 ) e B = ( 1 ,1 ,0 ) , calvule as coordenadas dos pontos C e D , que determinam em A B três segmentos congruentes.b) Sejam A = ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) , B = ( x 2 ,y 2 ,z 2 ) e X o pon