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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 38.Problemas - Ex. 4

Seja M :   R 3 → R 2 uma transformação linear cuja matriz m tem determinante ≠ 0 . Prove que M transforma todo tetraedro O A B C num tetraedro O A ' B ' C ' tal que v o l O A ' B ' C ' = det ⁡ m .   v o l O A B C .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Nessa questão seja M :   R 3 → R 2 uma transformação linear cuja matriz m tem determinante ≠ 0 . Prove que M transforma todo tetraedro O A B C num tetraedro O A ' B ' C ' tal que v o l O A ' B ' C ' = det ⁡ m .   v o l O A B C .

Vem comigo que essa questão e bem simples.

Passo 2

Para provarmos que M transforma todo tetraedro O A B C num tetraedro O A ' B ' C ' , temos

det ⁡ m = c   ( á r e a   d o   p a r a l e l o g r a m o   O A B C )

v o l O A ' B ' C ' = | det ⁡ m | .   v o l ( O A B C )

det ⁡ O A ' B ' C ' = u 2 v 2 - < u , v > 2 = á r e a   d o   p a r a l e l o g r a m o

Para no fim termos,

det ⁡ O A ' B ' C ' = det ⁡ u , v 2 . v o l O A B C 2

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

det ⁡ O A ' B ' C ' = det ⁡ u , v 2 . v o l O A B C 2

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam AeB matrizes do tipo n × n . Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas. det ⁡ A B = d e t ⁡ ( B A ) det ⁡ A ' = d e t ⁡ ( A ) det ⁡ 2 A = 2 d e t A det ⁡ A 2 = d e t A 2 det ⁡
Propriedade: O determinante de uma matriz triangular A n × n e igual ao produto de sua diagonal.Prove esta propriedade no caso em que A é uma matriz triangular superior (genérica) = 5 × 5 . (Sugestão:
Agora prove a propriedade 3.7 . 1 , usando o exercício anterior.
Dada A = 2 3 1 - 2 5 3 1 4 0 1 2 2 3 - 1 - 2 4 calcule A 23 | A 23 | Δ 23 det ⁡ A
Calcule d e t 2 0 - 1 3 0 2 4 - 3 7 Pela definição;Em relação à segunda coluna, usando o desenvolvimento de Laplace.