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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 14.Exercício - Ex. 20b

Em uma tarde chuvosa, Cecília resolveu vários exercícios de Geometria Analítica que pediam equações de planos e foi ao final do livro conferir as respostas. Relacionamos a seguir, para cada exercício, as duas respostas: a de Cecília e a do livro. Quais exercícios ela acertou?

Exercício 2 X = 1 ,   1 ,   1 + λ 2 ,   3 ,   - 1 + μ - 1 ,   1 ,   1 X = 1 ,   6 ,   2 + λ - 1 ,   1 ,   1 + μ ( 2 ,   3 ,   - 1 )

Passo 1

No exercício 2, de cara já percebemos que a Cecília colocou os mesmos vetores diretores do livro (lembrando que não importa o coeficiente que está multiplicando, o que importa é que os vetores diretores do plano são os mesmos), então não precisamos conferir isso hehe mas o ponto que ela colocou é diferente do ponto do livro, então vamos ter que conferir se o ponto que a Cecília usou ( 1 ,   1 ,   1 ) pertence à equação correta do plano, que é a do livro.

Passo 2

Pra isso, vamos ter:

( 1 ,   1 ,   1 ) = 1 ,   6 ,   2 + λ - 1 ,   1 ,   1 + μ ( 2 ,   3 ,   - 1 )

Vamos verificar se existe λ   e   μ tal que essa igualdade seja verdadeira beleza?

( 1 ,   1 ,   1 ) = 1 ,   6 ,   2 + - λ ,   λ ,   λ + ( 2 μ ,   3 μ ,   - 1 μ )

Somando os vetores:

1 ,   1 ,   1 = 1 - λ + 2 μ ,   6 + λ + 3 μ ,   2 + λ - μ

Igualando as coordenadas, teremos o sistema:

1 - λ + 2 μ = 1 6 + λ + 3 μ = 1 2 + λ - μ = 1

Da primeira equação, temos λ = 2 μ , substituindo na segunda:

6 + 2 μ + 3 μ = 1

5 μ = - 5

μ = - 1

Então λ = 2 - 1 = - 2

Substituindo esses valores na terceira equação, o resultado procede certo?

Legal!! Existe λ   e   μ tal que o ponto da Cecília pertence à equação do plano do livro, então ela colocou um ponto certo simm e acertou o exercício :D

Resposta

b) Exercício 2 correto

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