Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.3 - Ex. 8
Seja uma matriz de ordem . Seja . Provar que .
Passo 1
Nossa propriedade dos da que
E ela, e somente ela, nos dará a resposta que queremos, esperamos.
Passo 2
Observe o seguinte, se tivessemos o seguinte determinante
Usando a propriedade acima, podemos reescrever nosso determinante como
E aplicando novamente, teriamos
Ou seja, uma combinação de todas as linhas do determinante original.
Assim vamos tentar fazer o mesmo só que o determinante de dado no enunciado.
Passo 3
Assim como fizemos no passo 2, tome nosso determinante dado por
na qual podemos resumir nossos primeiros determinantes que levam como a primeira linha o termo como:
Se contínuarmos, perceba que teremos praticamente os mesmo termos, só que trocando a primeira linha por e depois por , ou seja
E
Que é a comabinação de todas as linhas da nossa matriz .
Passo 4
Usando a ideia que se tivermos duas linhas iguais em nossa matriz, temos que o determinando é nulo, então os únicos termos na qual sobraram, serão na qual .
Logo nos restará apenas
Tome ainda pela propriedade , que e tome também que , ou seja, teremos
Respectivamente. Assim os dois primeiros termos são opostos, mas os outros 4 são negativos, ou seja
Como queriamos demonstrar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)