Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

Produzido por Bruno Pestana
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Teoria

Até agora aprendemos um monte de coisas sobre bases ortogonais que muitas vezes facilitam nossas vidas.

Agora e se nos depararmos com um problema com condições perfeitas pra utilizarmos o que aprendemos sobre coordenadas e projeção mas a base não for ortogonal?

Nesses casos temos 2 saídas: ou fazemos do jeito que aprendemos primeiro, para uma base qualquer, ouuu transformamos a base em base ortogonal!!

Em outras palavras, há um modo de achar uma base ortogonal para certo espaço H   a partir de uma base não ortogonal dele. Esse modo é chamado de Ortogonalização de Gram-Schmidt.

Processo de ortogonalização de Gram- Schmidt

Imagine que temos uma base v 1 , v 2 , v 3 e queremos obter uma base ortogonal w 1 , w 2 , w 3 .

Nós queremos mudar mudar a base, não o espaço gerado por ela! Ou seja a nova base ortogonal   w 1 , w 2 , w 3 terá que gerar o mesmo espaço que a antiga. Por esse motivo vamos escrever os vetores da nova base ortogonal em função dos antigos.

Vamos definir os vetores da base ortogonal da seguinte forma:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 + α w 1

w 3 = v 3 + β w 1 + γ w 2

Note que s p a n w 1 , w 2 , w 3 = s p a n v 1 , v 2 , v 3 , já que tudo o que fizemos para obter os vetores w 1 ,   w 2 ,   w 3 foi combinar os vetores v 1 , v 2 , v 3 .

Beleza até aí?? Então, o nosso objetivo é encontrar os valores de α , β   e   γ e encontrar uma base ortogonal! Para isso, o produto interno entre os vetores tem que ser zero.

Temos a exigência de que w 1 , w 2 , w 3 sejam ortogonais entre si.

Vamos forçar o produto interno de w 1   e     w 2   ser zero e isolar o valor de α :

  〈 w 2 , w 1 〉 = 0

〈 v 2 + α w 1 , w 1 〉 = 0

〈 v 2 , w 1 〉 + α 〈 w 1 , w 1 〉 = 0

α = - 〈 v 2 , w 1 〉 〈 w 1 , w 1 〉

Beleza ja temos α , vamos zerar o produto interno de w 3 , w 1 e encontrar   β :

  〈 w 3 , w 1 〉 = 0

  〈 v 3 + β w 1 + γ w 2 , w 1 〉 = 0

〈 v 3 , w 1 〉 + β 〈 w 1 , w 1 〉 + γ 〈 w 2 , w 1 〉 = 0

Sabemos que 〈 w 2 , w 1 〉 = 0 , então temos:

〈 v 3 , w 1 〉 + β 〈 w 1 , w 1 〉 = 0

β = - 〈 v 3 , w 1 〉 〈 w 1 , w 1 〉

Agora vamos calcular 〈 w 3 , w 2 〉 e encontrar γ :

  〈 w 3 , w 2 〉 = 0

  〈 v 3 + β w 1 + γ w 2 , w 2 〉 = 0

  〈 v 3 , w 2 〉 + β 〈 w 1 , w 2 〉 + γ 〈 w 2 , w 2 〉 = 0

Sabemos que 〈 w 2 , w 1 〉 = 0 , então temos:

  〈 v 3 , w 2 〉 + γ 〈 w 2 , w 2 〉 = 0

γ = - 〈 v 3 , w 2 〉 〈 w 2 , w 2 〉

Show!! temos tudo o que precisamos para nossa nova base!

Substituindo nos vetores que definimos:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 - 〈 v 2 , w 1 〉 〈 w 1 , w 1 〉 w 1

w 3 = v 3 - 〈 v 3 , w 1 〉 〈 w 1 , w 1 〉 w 1 - 〈 v 3 , w 2 〉 〈 w 2 , w 2 〉 w 2

Aaaaah, quanta coisa, e se for uma base com 4 vetores, vou ter que ficar fazendo isso o tempo todo?! Com certeza que não haha. Talvez não tenha percebido mas existe um padrão aí, é meio chato de ver mesmo, se liga:

Dada uma base não ortogonal v 1 , v 2 , … , v n , definimos w 1 , w 2 , … , w n por

w 1 = v 1 w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1 w 3 = v 3 - v 3 , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v 3 , w 2 w 2 , w 2 w 2 ⋮ ⋮ w n = v n - v n , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v n , w 2 w 2 , w 2 w 2 - … - v n , w n - 1 w n - 1 , w n - 1 w n - 1

Eaí, conseguiu pegar o padrão? Na real, a única linha que precisa gravar é a última:

w n = v n - v n , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v n , w 2 w 2 , w 2 w 2 - … - v n , w n - 1 w n - 1 , w n - 1 w n - 1

Disso aí você consegue encontrar a fórmula para qualquer w ;)

Aplicação

Então bora fazer um exemplinho:

Ache uma base ortogonal para H = 〈 1,3 , 1 , 2,0 , 0 , ( 0,2 , 4 ) 〉

Vamos calcular os vetores da nova base ortogonal w 1 , w 2 , w 3

w 1 = v 1 ⟹ w 1 = ( 1,3 , 1 )

Esse foi fácil, agora w 2 :

w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1

⟹ w 2 = 2,0 , 0 - 〈 2,0 , 0 , 1,3 , 1 〉 〈 1,3 , 1 , 1,3 , 1 〉 1,3 , 1

⟹   w 2 = 2,0 , 0 - 2 11 1,3 , 1 = 20 11 , - 6 11 , - 2 11

Agora w 3 :

w 3 = v 3 - 〈 v 3 , w 1 〉 〈 w 1 , w 1 〉 w 1 - 〈 v 3 , w 2 〉 〈 w 2 , w 2 〉 w 2

Substituindo os valores,

0,2 , 4 - 〈 0,2 , 4 , 1,3 , 1 〉 〈 1,3 , 1 , 1,3 , 1 〉 1,3 , 1 - 〈 0,2 , 4 , 20 11 , - 6 11 , - 2 11 〉 〈 20 11 , - 6 11 , - 2 11 , 20 11 , - 6 11 , - 2 11 〉 20 11 , - 6 11 , - 2 11

Vamos lá, guerreiro(a)!! Vamos fazer essas contas!!!

w 3 = 0,2 , 4 - 10 11 1,3 , 1 - - 20 11 440 121 20 11 , - 6 11 , - 2 11

Tá quase lá...

w 3 = 0,2 , 4 + - 10 11 , - 30 11 , - 10 11 + - 10 11 , 3 11 , 1 11 = - 20 11 , - 5 11 , 35 11

Ufa!! A nova base para esse espaço então é

1,3 , 1 , 20 11 , - 6 11 , - 2 11 , - 20 11 , - 5 11 , 35 11

Agora é só praticar mais essa técnica :)

Aplicação

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