Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
Teoria
Até agora aprendemos um monte de coisas sobre bases ortogonais que muitas vezes facilitam nossas vidas.
Agora e se nos depararmos com um problema com condições perfeitas pra utilizarmos o que aprendemos sobre coordenadas e projeção mas a base não for ortogonal?
Nesses casos temos 2 saídas: ou fazemos do jeito que aprendemos primeiro, para uma base qualquer, ouuu transformamos a base em base ortogonal!!
Em outras palavras, há um modo de achar uma base ortogonal para certo espaço a partir de uma base não ortogonal dele. Esse modo é chamado de Ortogonalização de Gram-Schmidt.
Processo de ortogonalização de Gram- Schmidt
Imagine que temos uma base e queremos obter uma base ortogonal .
Nós queremos mudar mudar a base, não o espaço gerado por ela! Ou seja a nova base ortogonal terá que gerar o mesmo espaço que a antiga. Por esse motivo vamos escrever os vetores da nova base ortogonal em função dos antigos.
Vamos definir os vetores da base ortogonal da seguinte forma:
Note que , já que tudo o que fizemos para obter os vetores foi combinar os vetores .
Beleza até aí?? Então, o nosso objetivo é encontrar os valores de e encontrar uma base ortogonal! Para isso, o produto interno entre os vetores tem que ser zero.
Temos a exigência de que sejam ortogonais entre si.
Vamos forçar o produto interno de ser zero e isolar o valor de :
Beleza ja temos , vamos zerar o produto interno de e encontrar:
Sabemos que , então temos:
Agora vamos calcular e encontrar
Sabemos que , então temos:
Show!! temos tudo o que precisamos para nossa nova base!
Substituindo nos vetores que definimos:
Aaaaah, quanta coisa, e se for uma base com vetores, vou ter que ficar fazendo isso o tempo todo?! Com certeza que não haha. Talvez não tenha percebido mas existe um padrão aí, é meio chato de ver mesmo, se liga:
Dada uma base não ortogonal , definimos por
Eaí, conseguiu pegar o padrão? Na real, a única linha que precisa gravar é a última:
Disso aí você consegue encontrar a fórmula para qualquer ;)
Aplicação
Então bora fazer um exemplinho:
Ache uma base ortogonal para
Vamos calcular os vetores da nova base ortogonal
Esse foi fácil, agora :
Agora
Substituindo os valores,
Vamos lá, guerreiro(a)!! Vamos fazer essas contas!!!
Tá quase lá...
Ufa!! A nova base para esse espaço então é
Agora é só praticar mais essa técnica :)
Aplicação
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 146/147. – 21
Consideremos as seguintes bases do e do :
Ortonormalizar essas bases pelo processo de Gram-Schmidt
Passo 1
Definindo a base , queremos obter a base ortogonal pelo processo de Gram-Schmidt. Fazemos então:
Sendo assim,
Chegamos à base:
Passo 2
Agora precisamos normalizar os vetores da base a fim de obter a base ortonormal :
Logo, temos a base ortonormal:
Passo 3
Definindo , queremos obter a base ortogonal pelo processo de Gram-Schmidt. Repare, no entanto, que já é ortogonal à ! Logo, podemos definir direto . Fazemos então:
Sendo assim,
Chegamos à base:
Passo 4
Agora precisamos normalizar os vetores da base a fim de obter a base ortonormal . O vetor já está normalizado, logo:
Logo, temos a base ortonormal:
Passo 5
Definindo a base , queremos obter a base ortogonal pelo processo de Gram-Schmidt. Repare que novamente já é ortogonal à ! Logo, podemos definir direto . Fazemos então:
Sendo assim,
Chegamos à base:
Passo 6
Agora precisamos normalizar os vetores da base a fim de obter a base ortonormal :
Logo, temos a base ortonormal:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 147. – 24
Determinar, em relação ao produto interno usual, uma base ortonormal para o subespaço do gerado pelos vetores e .
Passo 1
Depois de uma rápida olhada já dá pra perceber que , então podemos tirar ele da parada já. Agora aplicando o processo de Ortogonalização de Gram Schmidt:
Sendo assim,
Chegamos à base:
Passo 2
Agora precisamos normalizar os vetores da base a fim de obter a base ortonormal :
Logo, temos a base ortonormal:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 147. – 25
Seja subespaço de com o produto interno usual. Seja
Ortonormalizar o conjunto
Completar o conjunto de modo a transformá-lo numa base ortogonal de .
Passo 1
Boas notícias galera, não precisamos nem ortogonalizar eles haha, se liga:
Como eles já são ortogonais, basta normalizarmos os vetores:
Então o conjunto normalizado fica:
Passo 2
Agora precisamos completar o conjunto , de modo a transformá-la numa base ortogonal de . Tá, então precisamos achar um vetor , que obedeça o seguinte:
Repare que as condições são ser ortogonal aos outros dois vetores e fazer parte do conjunto . Então:
Passo 3
Substituindo em e :
Substituindo na equação de baixo:
Agora podemos substituir e na equação de :
Nosso terceiro vetor será então:
Então uma base possível para seria:
Resposta
Exercício Resolvido #4
IME USP, Lista de Álgebra Linear, Professor Kostiatyn Iusenko
Ortonormalizar a base , e do pelo processo de Gram-Schmidt.
Passo 1
Para ortonormalizar a base, vamos usar o processo de Gram Schmidt certo?
Vamos chamar a base ortonormal de , sendo que:
Para e , primeiro vamos encontrar apenas os numeradores e , sem dividir pela norma ok?
Depois sim vamos dividir pela norma para encontrarmos e .
Passo 2
Vamos começar:
Para :
Agora, dividindo pela norma:
Passo 3
Por fim, para :
Agora, normalizando:
Então é issoo, a nossa base ortonormal é dada por:
Resposta
Exercício Resolvido #5
IME USP, Lista de Álgebra Linear, Professor Kostiatyn Iusenko
Em com o produto interno usual, ortonormalizar a base .
Passo 1
Usando Gram-Schmidt, vamos chamar a base ortonormal de , onde:
Para e , primeiro vamos encontrar apenas os numeradores e , sem dividir pela norma, e aí depois vamos dividir pela norma para encontrarmos e certo?
Ah, lembrando que no espaço , o produto interno usual é:
Assim como
Então, é isso que vamos usar nos nossos cálculos ;)
Passo 2
Para :
Normalizando:
Passo 3
Por fim, para :
Normalizando:
Então nossa base vai ser
Resposta
Exercício Resolvido #6
UFRGS, Apostila de Álgebra Linear
Obtenha uma base ortogonal para o espaço coluna da matriz :
Passo 1
O espaço coluna da matriz são os vetores que formam suas colunas, ou seja:
Para ortonormalizar a base, vamos usar o processo de Gram Schmidt.
Queremos uma base ortonormal , sendo que:
Então bora lá fazer esses cálculos e encontrar a base ortonormal :D
Passo 2
Temos que:
Já :
Passo 3
Por fim, para :
Então, a nossa base ortogonal para o espaço coluna é:
Resposta
Exercício Resolvido #7
IME USP, Lista de Álgebra Linear, Professor Kostiatyn Iusenko
Seja , determine a projeção ortogonal do vetor sobre .
Passo 1
Antes de encontrarmos essa projeção, vamos ortogonalizar a base de usando Gram-Schmidt, e assim, vamos encontrar uma base ortogonal na qual vamos calcular a projeção.
Por Gram-Schmidt, temos:
Bora fazer esses cálculos então! ;D
Passo 2
vai ser dado por:
Somando os vetores:
Então, a nossa base ortogonal é . Agora é só fazermos a projeção :D
Passo 3
A projeção vai ser:
Logo:
Resposta
Exercício Resolvido #8
Elaboração própria.
Seja um espaço vetorial munido com o seguinte produto interno:
A partir do conjunto , dê uma base ortogonal para .
Passo 1
Para ortogonalizar o conjunto , vamos usar o processo de Gram-Schmidt certo?
Com isso, vamos encontrar uma base com seus elementos ortogonais dois a dois, vamo lá!
Passo 2
Por Gram-Schmidt, nossa base será formada pelos vetores:
Fazendo os cálculos para :
Já para :
Então, a nossa base ortogonal é