Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Até agora aprendemos um monte de coisas sobre bases ortogonais que muitas vezes facilitam nossas vidas.
Agora e se nos depararmos com um problema com condições perfeitas pra utilizarmos o que aprendemos sobre coordenadas e projeção mas a base não for ortogonal?
Nesses casos temos 2 saídas: ou fazemos do jeito que aprendemos primeiro, para uma base qualquer, ouuu transformamos a base em base ortogonal!!
Em outras palavras, há um modo de achar uma base ortogonal para certo espaço a partir de uma base não ortogonal dele. Esse modo é chamado de Ortogonalização de Gram-Schmidt.
Processo de ortogonalização de Gram- Schmidt
Imagine que temos uma base e queremos obter uma base ortogonal .
Nós queremos mudar mudar a base, não o espaço gerado por ela! Ou seja a nova base ortogonal terá que gerar o mesmo espaço que a antiga. Por esse motivo vamos escrever os vetores da nova base ortogonal em função dos antigos.
Vamos definir os vetores da base ortogonal da seguinte forma:
Note que , já que tudo o que fizemos para obter os vetores foi combinar os vetores .
Beleza até aí?? Então, o nosso objetivo é encontrar os valores de e encontrar uma base ortogonal! Para isso, o produto interno entre os vetores tem que ser zero.
Temos a exigência de que sejam ortogonais entre si.
Vamos forçar o produto interno de ser zero e isolar o valor de :
Beleza ja temos , vamos zerar o produto interno de e encontrar:
Sabemos que , então temos:
Agora vamos calcular e encontrar
Sabemos que , então temos:
Show!! temos tudo o que precisamos para nossa nova base!
Substituindo nos vetores que definimos:
Aaaaah, quanta coisa, e se for uma base com vetores, vou ter que ficar fazendo isso o tempo todo?! Com certeza que não haha. Talvez não tenha percebido mas existe um padrão aí, é meio chato de ver mesmo, se liga:
Dada uma base não ortogonal , definimos por
Eaí, conseguiu pegar o padrão? Na real, a única linha que precisa gravar é a última:
Disso aí você consegue encontrar a fórmula para qualquer ;)
Aplicação
Então bora fazer um exemplinho:
Ache uma base ortogonal para
Vamos calcular os vetores da nova base ortogonal
Esse foi fácil, agora :
Agora
Substituindo os valores,
Vamos lá, guerreiro(a)!! Vamos fazer essas contas!!!
Tá quase lá...
Ufa!! A nova base para esse espaço então é
Agora é só praticar mais essa técnica :)