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Projeção em Base Ortogonal

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Teoria

Fala galera, já demos uma olhada em base ortogonal né? Um uso bem legal dela é que facilita a nossa vida na hora de achar a projeção de um vetor sobre um espaço qualquer através de produtos internos! Isso aí!

Vou direto ao ponto, se β = v 1 , v 2 , … , v n é base ortogonal de H , então:

P H b = b , v 1 v 1 , v 1 v 1 + b , v 2 v 2 , v 2 v 2 + … + b , v n v n , v n v n = ∑ i = 1 n b , v i v i , v i v i

Exemplo: Seja H o plano no R 3 gerado pelos vetores 1,0 , 1 e - 1,4 , 1 , calcule a projeção ortogonal do vetor 1,2 , 1 sobre H .

Como podemos ver, 1,0 , 1 , - 1,4 , 1 = 0 . Logo, temos uma base ortogonal para H . Sendo assim:

P H b = 1,2 , 1 , 1,0 , 1 1,0 , 1 , 1,0 , 1 1,0 , 1 + 1,2 , 1 , - 1,4 , 1 - 1,4 , 1 , - 1,4 , 1 - 1,4 , 1 = 2 2 1,0 , 1 + 8 18 - 1,4 , 1

P H b = 1,0 , 1 + - 4 9 , 16 9 , 4 9 = 5 9 , 16 9 , 13 9 = 1 9 5,16,13

Um caso particular muito interessante é quando H é uma reta. Nesse caso, não precisamos nos preocupar com a questão da base ortogonal. Temos que a projeção de um vetor b na reta dada por v é:

P v b = b , v v , v v

Outro caso interessante é quando a base é ortonormal. Já que, pelo produto interno dos vetores com eles mesmos ser 1, a fórmula pode ser reescrita dessa forma:

P H b = ∑ i = 1 n b , v i v i

Sendo agora β = v 1 , v 2 , … , v n uma base ortonormal de H .

E só mais um exemplo pra terminar:

Seja r a reta no R 2 gerado pelo vetor 1 2 , 1 2 , calcule a projeção ortogonal do vetor ( 3,4 ) sobre r .

Oba! Temos um caso de projeção em uma reta e o vetor que gera ela é ortonormal, tranquilinho. Vamos usar essa fórmula aqui:

P r b = b , v v , v v

Opa, mas nosso denominador vai ser 1 né, então bora simplificar isso aí:

P r b = b , v v

Substituindo:

P r b = ( 3,4 ) , 1 2 , 1 2 1 2 , 1 2

P r b = 3 ∙ 1 2 + 4 ∙ 1 2 1 2 , 1 2

P r b = 7 2 1 2 , 1 2 = 7 2 , 7 2

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 160 – Exemplo 5.22

Determine P H v se v = 2 , 0,0 para cada H abaixo (as bases são ortogonais):

a H = s p a n   1 2 3 , 4 1 - 2

b H = s p a n 1 2 3

Passo 1

Letra a

P H b = 2,0 , 0 , 1,2 , 3 1,2 , 3 , 1,2 , 3 1,2 , 3 + 2,0 , 0 , 4,1 , - 2 4,1 , - 2 , 4,1 , - 2 4,1 , - 2

P H b = 2 14 1,2 , 3 + 8 21 4,1 , - 2 = 5 3 , 2 3 , - 1 3 = 1 3 5,2 , - 1

Passo 2

Letra b

P H b = 2,0 , 0 , 1,2 , 3 1,2 , 3 , 1,2 , 3 1,2 , 3

P H b = 2 14 1,2 , 3 = 1 7 , 2 7 , 3 7 = 1 7 1,2 , 3

Resposta

a 1 3 5,2 , - 1

b 1 7 1,2 , 3

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine P H b se b = 1 , 0,1 ou b = 3,8 , 7,0 para cada H abaixo (as bases são ortogonais):

a H = - 1,4 , - 3 , 5,2 , 1

b H = 3 , - 4 , - 7

c H = 3 , - 2,1 , 3 , - 1,3 , - 3,4

Passo 1

a   Jogando na fórmula:

P H b = 1,0 , 1 , - 1,4 , - 3 - 1,4 , - 3 , - 1,4 , - 3 - 1,4 , - 3 + 1 , 0 , 1 , 5,2 , 1 5,2 , 1 , 5,2 , 1 5,2 , 1

P H b = - 4 26 - 1,4 , - 3 + 6 30 5,2 , 1

P H b = 2 13 , - 8 13 , 6 13 + 1 , 2 5 , 1 5 = 15 13 , - 14 65 , 43 65

Passo 2

b Novamente:

P H b = 1,0 , 1 , 3 , - 4 , - 7 3 , - 4 , - 7 , 3 , - 4 , - 7 3 , - 4 , - 7

P H b = - 4 74 3 , - 4 , - 7 = - 6 37 , 8 37 , 14 37

Passo 3

c   Repare que aqui temos um plano no R 4 ! Então vamos ter que usar o outro vetor b com quatro coordenadas ;)

P H b = 3,8 , 7,0 , 3 , - 2,1 , 3 3 , - 2,1 , 3 , 3 , - 2,1 , 3 3 , - 2,1 , 3 + 3,8 , 7,0 , - 1,3 , - 3,4 - 1,3 , - 3,4 , - 1,3 , - 3,4 - 1,3 , - 3,4

P H b = 0 23 3 , - 2,1 , 3 + 0 35 - 1,3 , - 3,4 = 0,0 , 0,0

Eita, zerou tudo, ta certo isso? Tá sim haha, o que acontece é que o vetor 3 , 8,7 , 0 é ortogonal ao plano H , então quando o projetamos, ele foi pro zero!

Resposta

a   15 13 , - 14 65 , 43 65

b   - 6 37 , 8 37 , 14 37

c   0,0 , 0,0

Exercício Resolvido #3

Seja v → = v 1 , v 2 , v 3 o vetor da reta gerada por 3,0 , 1 que é o mais próximo do vetor 7,3 , - 1 . Então a soma de suas entradas, v 1 + v 2 + v 3 , vale:

( a ) 3

( b ) 13

( c ) 18

( d ) 8

Passo 1

Se v → é o vetor mais próximo de 7,3 , - 1 na reta gerada por 3,0 , 1 , basta projetarmos ele nessa reta:

P 3,0 , 1 7,3 , - 1 = 7,3 , - 1 , 3,0 , 1 3,0 , 1 , 3,0 , 1 3,0 , 1 = 20 10 3,0 , 1 = 6,0 , 2

Somando as entradas:

6 + 0 + 2 = 8

Resposta

Letra ( d )

Exercício Resolvido #4

UFRGS, Aula de Projeções Ortogonais sobre Subespaços

Calcule a projeção do vetor y → = 1 1 1 sobre o plano gerado pelos vetores

w 1 → = 4 2 - 7 w 2 → = 1 5 2

Passo 1

Primeiramente, percebemos que w 1 → e w 2 → formam uma base ortogonal, afinal, o produto interno entre eles é 0 certo?

w 1 → . w 2 → = 4 + 10 - 14 = 0

Então vamos usar a fórmula:

P b H = 1 ,   1 ,   1 ,   4 ,   2 ,   - 7 4 ,   2 ,   - 7 ,   4 ,   2 ,   - 7 4 ,   2 ,   - 7 + 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   5 ,   2 1 ,   5 ,   2 ,   1 ,   5 ,   2 1 ,   5 ,   2

Bora lá calcular essa projeção então :)

Passo 2

Temos que:

P b H = 1 ,   1 ,   1 ,   4 ,   2 ,   - 7 4 ,   2 ,   - 7 ,   4 ,   2 ,   - 7 4 ,   2 ,   - 7 + 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   5 ,   2 1 ,   5 ,   2 ,   1 ,   5 ,   2 1 ,   5 ,   2

Calculando o produto interno (como o enunciado não definiu o produto interno, vamos utilizar o usual beleza?):

P b H = 4 + 2 - 7 16 + 4 + 49 ( 4 ,   2 ,   - 7 ) + 1 + 5 + 2 1 + 25 + 4 ( 1 ,   5 ,   2 )

P b H = - 1 69 ( 4 ,   2 ,   - 7 ) + 8 30 ( 1 ,   5 ,   2 )

P b H = - 4 69 ,   - 2 69 ,   - 7 69 + 8 30 , 40 30 , 16 30

Somando os vetores:

P b H = 24 115 , 30 23 , 73 115

Resposta

P b H = 24 115 , 30 23 , 73 115

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria.

Calcule a projeção do vetor u → = ( 3 ,   2 ,   1 ,   5 ) na base formada pelos vetores v → = ( 1 ,   4 ,   3 ,   2 ) e w → = ( 1 ,   - 3 ,   3 ,   1 ) .

Passo 1

Antes de tudo, repara que o produto interno entre v → e w → é 0:

v → . w → = 1 - 12 + 9 + 2 = 0

Logo, eles são ortogonais e podemos usar a fórmula:

P b H = ( 3 ,   2 ,   1 ,   5 ) ,   ( 1 ,   4 ,   3 ,   2 ) 1 ,   4 ,   3 ,   2 ,   1 ,   4 ,   3 ,   2 1 ,   4 ,   3 ,   2 + 3 ,   2 ,   1 ,   5 ,   1 ,   - 3 ,   3 ,   1 1 ,   - 3 ,   3 ,   1 ,   1 ,   - 3 ,   3 ,   1 1 ,   - 3 ,   3 ,   1

Agora é só calcular pra acharmos essa projeção :D

Passo 2

A fórmula da nossa projeção vai ser

P b H = ( 3 ,   2 ,   1 ,   5 ) ,   ( 1 ,   4 ,   3 ,   2 ) 1 ,   4 ,   3 ,   2 ,   1 ,   4 ,   3 ,   2 1 ,   4 ,   3 ,   2 + 3 ,   2 ,   1 ,   5 ,   1 ,   - 3 ,   3 ,   1 1 ,   - 3 ,   3 ,   1 ,   1 ,   - 3 ,   3 ,   1 1 ,   - 3 ,   3 ,   1

Calculando os produtos internos:

P b H = 3 + 8 + 3 + 10 1 + 16 + 9 + 4 1 ,   4 ,   3 ,   2 + 3 - 6 + 3 + 5 1 + 9 + 9 + 1 1 ,   - 3 ,   3 ,   1

P b H = 24 30 1 ,   4 ,   3 ,   2 + 5 20 1 ,   - 3 ,   3 ,   1

P b H = 4 5 1 ,   4 ,   3 ,   2 + 1 4 1 ,   - 3 ,   3 ,   1

P b H = 4 5 , 16 5 , 12 5 , 8 5 + 1 4 ,   - 3 4 , 3 4 , 1 4

Somando os vetores, temos que nossa projeção é:

P b H = 21 20 , 49 20 , 63 20 , 37 20

Resposta

P b H = 21 20 , 49 20 , 63 20 , 37 20

Exercício Resolvido #6

UFRGS, Aula de Projeções Ortogonais sobre Subespaços

Calcule a projeção do vetor y → = 1 0 - 1 - 3 2 sobre o plano gerado pelos vetores

w 1 → = 0 4 0 - 6 0   w 2 → = 1 0 2 0 - 1 w 3 → = 2 - 3 0 - 2 2

Passo 1

w 1 → , w 2 → e w 3 → formam uma base ortogonal, pois:

w 1 → . w 2 → = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

w 1 → . w 3 → = 0 - 12 + 0 + 12 + 0 = 0

w 2 → . w 3 → = 2 + 0 + 0 + 0 - 2 = 0

Nossa fórmula de projeção em base ortogonal vai ficar assim:

P b H = 1 ,   0 ,   - 1 ,   - 3 ,   2 ,   0 ,   4 ,   0 ,   - 6 ,   0 0 ,   4 ,   0 ,   - 6 ,   0 ,   0 ,   4 ,   0 ,   - 6 ,   0 0 ,   4 ,   0 ,   - 6 ,   0 + 1 ,   0 ,   - 1 ,   - 3 ,   2 ,   1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   - 1 1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   - 1 1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   - 1 + 1 ,   0 ,   - 1 ,   - 3 ,   2 ,   2 ,   - 3 ,   0 ,   - 2 ,   2 2 ,   - 3 ,   0 ,   - 2 ,   2 ,   2 ,   - 3 ,   0 ,   - 2 ,   2 2 ,   - 3 ,   0 ,   - 2 ,   2

Grandona né? Mas relaxa que é só calcular os produtos internos e depois somar tudo hahaha

Passo 2

Vamos calcular os produtos internos:

P b H = 18 16 + 36 0 ,   4 ,   0 ,   - 6 ,   0 + 1 - 2 - 2 1 + 4 + 1 1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   - 1 + 2 + 6 + 4 4 + 9 + 4 + 4 2 ,   - 3 ,   0 ,   - 2 ,   2

P b H = 18 52 0 ,   4 ,   0 ,   - 6 ,   0 + - 3 6 1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   - 1 + 12 21 2 ,   - 3 ,   0 ,   - 2 ,   2

P b H = 9 26 0 ,   4 ,   0 ,   - 6 ,   0 - 1 2 1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   - 1 + 4 7 2 ,   - 3 ,   0 ,   - 2 ,   2

Multiplicando pelos escalares e somando os vetores:

P b H = 9 14 ,   - 282 91 ,   - 1 ,   - 293 91 , 23 14

Ufa, terminou :)

Resposta

P b H = 9 14 ,   - 282 91 ,   - 1 ,   - 293 91 , 23 14

Exercício Resolvido #7

Álgebra Linear e suas aplicações, Petronio Pulino, Departamento de matemática aplicada da UNICAMP - Adaptado

Considere o espaço vetorial R 3 munido do produto interno usual ⟨ . , . ⟩ . Seja β uma base de R 3 dada por: β = 1 ,   2 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   1 e P :   R 3 → R 3 o operador de projeção sobre β . Determine o operador P ( x ,   y ,   z ) .

Passo 1

Fazendo o produto interno dos elementos de β :

1 - 2 + 1 = 0

Beleza, deu 0, então essa base é ortogonal não é?

Então podemos usar a fórmula de projeção sobre base ortogonal:

P b H = x ,   y ,   z ,   1 ,   2 ,   1 1 ,   2 ,   1 ,   ( 1 ,   2 ,   1 ) 1 ,   2 ,   1 + x ,   y ,   z ,   1 ,   - 1 ,   1 1 ,   - 1 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   1 ( 1 ,   - 1 ,   1 )

Estamos usando ( x ,   y ,   z ) porque queremos saber qual é a fórmula geral para o operador P , ou seja, a fórmula que sempre podemos usar nesse caso para calcular a projeção sobre a base β .

É só calcular esses produtos internos e aí encontramos o operador P beleza?

Passo 2

Calculando os produtos internos:

P b H = x + 2 y + z 1 + 4 + 1 1 ,   2 ,   1 + x - y + z 1 + 1 + 1 ( 1 ,   - 1 ,   1 )

P b H = x + 2 y + z 6 1 ,   2 ,   1 + x - y + z 3 ( 1 ,   - 1 ,   1 )

P b H = x + 2 y + z 6 ,   2 x + 4 y + 2 z 6 ,   x + 2 y + z 6 + x - y + z 3 ,   - x + y - z 3 ,   x - y + z 3

Somando os vetores:

P b H = 3 x + 3 z 6 ,   6 y 6 ,   3 x + 3 z 6

Então, a fórmula geral do operador P é:

P b H = x + z 2 ,   y ,   x + z 2

Reparou como nesse caso é só o enunciado que assusta? Estamos usando a mesma fórmula dos outros exercícios mas com um vetor genérico (:

Resposta

P b H = x + z 2 ,   y ,   x + z 2

Exercício Resolvido #8

Elaboração própria.

Em um espaço vetorial P 2 R , o produto interno é dado por f x , g x = ∫ 0 1 f x g x d x . Dados p x = x ² e q x = 5 x 2 - 3 , calcule a projeção de r x = x + 4 na base formada por p ( x ) e q ( x ) .

Dados:

∫ 0 1 x + 4 . 5 x 2 - 3 d x = - 67 12

∫ 0 1 x + 4 . x 2 d x = 19 12

Passo 1

Antes de qualquer coisa, nós vamos calcular o produto interno entre p ( x ) e q ( x ) :

p x , q x = ∫ 0 1 x 2 . ( 5 x 2 - 3 ) d x

p x , q x = ∫ 0 1 5 x 4 - 3 x ² d x

p x , q x = 5 x 5 5 0 1 - 3 x 3 3 0 1

p x , q x = 1 - 1 = 0

Opa, o produto interno deu 0, então p ( x ) e q ( x ) são ortogonais!! :D

O que isso quer dizer? Que para calcularmos a projeção de r ( x ) nessa base podemos usar aquela fórmula:

P b H = r x ,   p x p x ,   p x p ( x ) + r x ,   q x q x ,   q x q ( x )

Isso mesmo, embora sejam polinômios, podemos tratá-los como vetores e calcular a projeção normalmente através do produto interno dado no enunciado ok?

Passo 2

Substituindo os polinômios:

P b H = x + 4 ,   x ² x 2 ,   x ² x ² + x + 4 ,   5 x 2 - 3 5 x 2 - 3 ,   5 x 2 - 3 5 x 2 - 3

P b H = ∫ 0 1 x + 4 . x 2 d x ∫ 0 1 x 2 . x 2 d x x ² + ∫ 0 1 x + 4 . 5 x 2 - 3 d x ∫ 0 1 5 x 2 - 3 . ( 5 x 2 - 3 ) d x 5 x 2 - 3

P b H = 19 12 1 5 x ² + - 67 12 4 5 x 2 - 3

P b H = 95 12 x 2 - 67 48 5 x 2 - 3

Então, a projeção de r ( x ) na base dada é:

P b H = 15 x 2 + 67 16

Resposta

P b H = 15 x 2 + 67 16

Exercícios de Livros Relacionados

19. Encontre os vetores w → 1 em W e w → 2 em W ⊥ tais que x → = w → 1 + w → 2 com x → e W dados no(a) Exercício 14(a)(b) Exercício 15(a)
15. Os vetores dados são ortogonais com produto interno euclidiano. Encontre p r o j W x → , com x → = 1,2 , 0 , - 2 e W o subespaço de R 4 gerado pelos vetores dados.(a) v → 1 = 1,1 , 1,1 , v → 2 = 1
14. Os vetores dados são ortogonais com produto interno euclidiano. Encontre p r o j W x → , com x → = 1,2 , 0 , - 2 e W o subespaço de R 4 gerado pelos vetores dados.(a) v → 1 = 1,1 , 1,1 , v → 2 = 1
Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano:A = (2, 2, 1), B = (3, 1, 2), C = (2, 3, 0) e D = (2, 3, 2);A = (2, 0, 2), B = (3, 2, 0), C = (0, 2, 1) e D = (10, −2, 1)
Decomponha W = - i → - 3 j → + 2 k → como a soma de dois vetores W1 e W2, com W1 paralelo ao vetor j → + 3 k → e W2 ortogonal a este último. (Sugestão: Revise o Exemplo 3.10 na página 178).