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Distâncias entre Pontos

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Teoria

Quando precisamos medir a distância de um lugar a outro, geralmente, usamos uma trena ou uma régua, certo? E se ao invés de um instrumento de medida você tiver as coordenadas de dois pontos!! Como encontrar a distância entre eles?

Não faz ideia como se faz?! Relaxa!! Vamos te ensinar direitinho o passo a passo!

Se tivermos um ponto P = ( 1,1 , 1 ) e outro ponto Q = ( 1 ,   2 ,   3 ) , como fazemos para calcular a distância entre eles?

Bem, a distância entre pontos nada mais é que a raiz da soma das diferença das coordenadas elevada ao quadrado!!

Lendo parece complicado, mas vamos fazer a conta para você ver como funciona! ;)

Considerando os pontos P = ( 1 ,   1 ,   1 ) e Q = ( 1 ,   2 ,   3 ) , a distância é:

d P , Q = 1 - 1 2 + ( 1 - 2 ) 2 + ( 1 - 3 ) 2 = 5

Ah, repara que não faz diferença a ordem em que você subtrai os pontos, ou seja

d P ,   Q = d ( Q ,   P )

O que faz total sentido, já que não tinha como essas distâncias serem diferentes!

Agora que já entendemos como faz podemos escrever de uma forma genérica e considerando P = ( x ,   y ,   z ) e Q = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) :

Agora só falta fazer exercícios para ficar de bem com a teoria!! Vamos praticar?!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

tPaulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 231-1.

Calcule a distância entre os ponto P e   Q nos casos

  1. P = ( 0 ,   - 1 ,   0 ) Q = ( - 1 ,   1 ,   0 )
  2. P = - 1 ,   - 3 ,   4             Q = ( 1 ,   2 ,   - 8 )

Passo 1

Bora, começar a exercitar o que aprendemos na teoria?

Vamos começar calculando a distância entre dois pontos!! Sabemos que a fórmula para calcular essa distância é:

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Passo 2

  1. Sendo P = 0 ,   - 1 ,   0 = ( x ,   y ,   z ) e Q = - 1 ,   1 ,   0 = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) , colocando os valores na fórmula:

    2. d P , Q = ( 0 + 1 ) 2 + ( - 1 - 1 ) 2 + ( 0 - 0 ) 2 = 5

    d P , Q = 5

    Passo 3

  2. Sendo P = - 1 ,   - 3 ,   4 = ( x ,   y ,   z ) e Q = ( 1 ,   2 ,   - 8 ) = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) , colocando os valores na fórmula:

d P , Q = ( - 1 - 1 ) 2 + ( - 3 - 2 ) 2 + ( 4 + 8 ) 2 = 173

d P , Q = 173

Resposta

  1. d P , Q = 5
  2. d P , Q = 173

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill. Pp. 201-1.

Mostrar que o ponto P 1 = ( 2 ,   2 ,   3 ) é equidistante dos pontos P 2 = ( 1 ,   4 ,   - 2 ) e P 3 = ( 3 ,   7 ,   5 ) .

Passo 1

Bom, galera para um ponto ser equidistante a outros dois pontos eles precisam ter a mesma distância entre si! Então, vamos começar calculando a distância entre P 1 e P 2 e, depois, a distância entre P 1 e P 3 !

Passo 2

A fórmula para distância entre dois pontos a gente já sabe!

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Sendo P 1 = 2 ,   2 ,   3 e P 2 = 1 ,   4 ,   - 2 , colocando os valores na fórmula:

d P 1 , P 2 = ( 2 - 1 ) 2 + ( 2 - 4 ) 2 + ( 3 - ( - 2 ) ) 2 = 30

d P 1 , P 2 = 30

Passo 3

Sendo P 1 = 2 ,   2 ,   3 e P 3 = ( 3 ,   7 ,   5 ) , colocando os valores na fórmula:

d P 1 , P 3 = ( 2 - 3 ) 2 + ( 2 - 7 ) 2 + ( 3 - 5 ) 2 = 30

d P 1 , P 3 = 30

Como d P 1 ,   P 2 = d ( P 1 ,   P 3 ) os pontos são, de fato equidistantes!

Resposta

d P 1 , P 2 = d P 1 ,   P 3 = 30

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria.

Sejam os vetores u → , que vai do ponto A = 0 ,   0 até B = 6 ,   4 , e   v → , que vai do ponto C = 1 , 1 2 até D = 6 , 1 2 . Calcule a maior distância entre eles.

Passo 1

Show! Vamos começar desenhando esses vetores para ver como eles estão posicionados!

Com esse desenho conseguimos ver que a maior distância entre os vetores acontece na extremidade! Ou seja, entre os pontos B = ( 6 ,   4 ) e D = 6 , 1 2 .

Então é só calcular a distância entre esses pontos!

Passo 2

Mais uma vez usaremos a formulinha de distância entre pontos que você já deve estar careca de saber!

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Vamos calcular a d ( B ,   D ) , sendo B = 6 ,   4 e D = 6 , 1 2 , colocando os valores na fórmula:

d B , D = 6 - 6 2 + 4 - 1 2 2

d B , D = 0 + 7 2 2

d B , D = 7 2   u . c

Show!! Achamos nossa distância!

Resposta

d B , D = 7 2   u . c

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria.

Sabendo que a distância entre o ponto P 1 = b ,   2 , 4 e o ponto P 2 = 4 , 8 ,   4 é 10 , encontre o valor de b .

Passo 1

O enunciado já diz que d P 1 ,   P 2 = 10 , então é só substituir esse valor na fórmula e achar b !

Vamos começar relembrando a fórmula:

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Agora vamos substituir os valores:

d P 1 , P 2 = b - 4 2 + 2 - 8 2 + 4 - 4 2

10 = b 2 - 8 b + 1 6 + 36 + 0

10 = b 2 - 8 b + 52

Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz,

100 = b 2 - 8 b + 5 2

b 2 - 8 b - 48 = 0

Por báskara:

b = - - 8 ± - 8 2 - 4.1 . - 48 2.1

b = 8 ± 64 + 192 2

b = 8 ± 256 2

b = 8 ± 16 2

b = 12   o u   b = - 4

Resposta

b = 12   o u   b = - 4

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria.

Sabendo que o ponto P 1 = 1 ,   1 , b é equidistante dos pontos P 2 = 1 , 4 ,   6 e P 3 = ( 4 ,   5 ,   2 ) , encontre o valor de b .

Passo 1

O enunciado diz que P 1 é equidistante de P 2 e P 3 , ou seja d P 1 ,   P 2 = d ( P 1 ,   P 3 ) !

Vamos começar escrevendo essas distâncias na fórmula:

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Para d ( P 1 , P 2 ) :

d P 1 , P 2 = 1 - 1 2 + 1 - 4 2 + b - 6 2

d P 1 , P 2 = 0 + - 3 2 + b 2 - 12 b + 36

d P 1 , P 2 = b 2 - 12 b + 45

Para d ( P 1 , P 3 ) :

d P 1 , P 3 = 1 - 4 2 + 1 - 5 2 + b - 2 2

d P 1 , P 2 = - 3 2 + - 4 2 + b 2 - 4 b + 4

d P 1 , P 2 = b 2 - 4 b + 29

Passo 2

Como d P 1 ,   P 2 = d ( P 1 ,   P 3 ) , basta igualarmos essas distâncias (equacionadas no passo 1) para encontrar b !

Igualando,

b 2 - 12 b + 45 = b 2 - 4 b + 29

Elevando os dois lados ao quadrado para tirar a raiz,

b 2 - 12 b + 45 = b 2 - 4 b + 29

45 - 29 = - 4 b + 12 b

16 = 8 b

b = 2

Resposta

b = 2  

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria.

Calcule a área do triângulo formado pelos pontos A = 2 ,   0 , B = 4 ,   6 e C = ( 6 ,   0 ) .

Passo 1

Vamos começar desenhando esse triângulo!

Para calcular a área de um triângulo, faremos:

A r e a = b . h 2

A altura h é a distância do ponto B a D = ( 4 ,   0 ) e a base b será a distância de A até C !

Passo 2

Vamos usar a formulinha para calcular essas distâncias!

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Vamos calcular a d ( B ,   D ) , sendo B = 4 ,   6 e D = 4,0 , colocando os valores na fórmula:

d B , D = 4 - 4 2 + 6 - 0 2

d B , D = 0 + 6 2

d B , D = 6   u . c

Agora d ( A ,   C ) :

d A , C = 2 - 6 2 + 0 - 0 2

d A , C = 16 + 0 2

d A , C = 4   u . c

Show!! Agora é só calcular a área!

Passo 3

A área será:

A r e a = b . h 2

Sendo b = 4   u . c e h = 6   u . c

A r e a = 4.6 2 = 12   u . a

Resposta

A r e a = 12   u . a

Exercício Resolvido #7

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill. Pp. 201-2.

Determinar, no eixo das coordenadas, um ponto equidistante de A = ( 1 ,   1 ,   4 ) e B = ( - 6 ,   6 ,   4 ) .

Passo 1

Beleza, galera!

Precisamos achar um ponto qualquer C = ( x ,   y ,   z ) , sendo que d A ,   C = d ( B , C ) , já que C precisa ser equidistante de A e B .

Passo 2

Mais uma vez usaremos a formulinha de distância entre pontos que você já deve estar careca de saber!

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Vamos calcular a d ( A ,   C ) , sendo A = 1 ,   1 ,   4 e C = x ,   y ,   z , colocando os valores na fórmula:

d A , C = 1 - x 2 + 1 - y 2 + ( 4 - z ) 2

Vamos deixar assim por enquanto!

Passo 3

Agora a d ( B ,   C ) , sendo B = - 6 ,   6 ,   4 e C = ( x , y ,   z ) , colocando os valores na fórmula:

d B ,   C = ( - 6 - x ) 2 + ( 6 - y ) 2 + ( 4 - z ) 2

Agora só falta igualar as fórmulas, já que d A ,   C = d ( B ,   C )

Passo 4

Igualando as fórmulas:

1 - x 2 + 1 - y 2 + ( 4 - z ) 2 = ( - 6 - x ) 2 + ( 6 - y ) 2 + ( 4 - z ) 2

Elevando os dois lados ao quadrado,

1 - x 2 + 1 - y 2 + ( 4 - z ) 2 = ( - 6 - x ) 2 + ( 6 - y ) 2 + ( 4 - z ) 2

Abrindo os produtos

18 - 2 x + x 2 - 2 y + y 2 - 8 z + z 2 = 88 + 12 x + x 2 - 12 y + y 2 - 8 z + z 2

18 - 2 x - 2 y = 88 + 12 x - 12 y

14 x - 10 y = - 70

Dividindo os dois lados por 2

7 x - 5 y = - 35

O ponto que procuramos precisa satisfazer a relação acima e como não possuímos especificação para z , ele poderá ser qualquer valor!

Logo, posso escolher x = 0 . Com isso:

7 × 0 - 5 y = - 3 5

y = 7

Para z posso escolher qualquer valor! Vou fazer z = 3

Então C = ( 0 ,   7 ,   3 ) !

Lembrando que você pode escolher qualquer valor para z e x e y precisam satisfazer a equação 7 x - 5 y = - 3 5 .

Passo 5

Por fim, vamos substituir o “meu” ponto C na equação da distância entre pontos e ver se bate!

d A , C = 1 - 0 2 + 1 - 7 2 + ( 4 - 3 ) 2 = 38

d B ,   C = ( - 6 - 0 ) 2 + ( 6 - 7 ) 2 + ( 4 - 3 ) 2 = 38

Bateuuu!! Showw de bolinhas!

Resposta

Qualquer ponto tal que a relação 7 x - 5 y = - 35 seja verdadeira.

A coordenada referente a z pode assumir qualquer valor.

Exemplos de possíveis respostas são: C = ( 0 ,   7 ,   3 ) , C = ( 0,7 , 0 ) .

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