Belezinha, vamos começar!

Para gente descobrir essa distância precisamos de um ponto de um dos planos e dos coeficientes do outro plano.

Vou escolher o ponto de . Assim, nos resta   e

Agora é só jogar tudo na fórmula de distância de ponto a plano!

Esse exercício é idêntico ao anterior, olha só:

Vamos escolher o ponto de . Assim, nos resta   e

Agora é só jogar tudo na fórmula de distância de ponto a plano e partir para o abraço!

Esse exercício mescla o cálculo de várias distâncias. O item nós já fizemos na questão anterior, mas nunca é demais treinar ainda mais quando essa é uma questão que envolve a decoreba de uma fórmula!! ;). O item é a distância entre dois planos. E para terminar, o item a distância entre reta e plano.

1. Devemos encontrar a distância entre o plano e o ponto . Sabemos que para calcular essa distância temos a fórmula:

No nosso caso e . Colocando os valores na fórmula e calculando, temos:

Chegamos na distância em que queríamos:

Passo 3

2. Nesse item temos a equação geral de dois planos e queremos calcular a distância entre eles. Porque o enunciado falou em distância perpendicular? É só para enfatizar que a distância que devemos calcular é a menor distância entre os planos!

O enunciado nos dá uma informação preciosa: de que os planos são paralelos, ou seja, possuem uma distância entre si!! Então, se eles são paralelos e para calcular a distância entre eles vamos escolher um ponto de um dos planos e calcular a distância de ponto a plano ;).

Temos as seguintes equações gerais:

Vamos pegar um ponto da equação . Sabemos que e são coordenadas de um ponto pertencente ao plano. Assim, se chutarmos que e , quanto vale Vamos jogar na expressão os valores de e para descobrir:

Portanto, temos o ponto . Lembrando, que poderíamos escolher qualquer outro ponto desde que satisfizesse a equação do plano.

Agora, só falta calcular pela fórmula a distancia do ponto ao outro plano. Colocando os valores na fórmula, temos:

Já estamos craques em calcular a distância entre ponto e plano ;)

Passo 4

3. Para finalizar, último item!! Nesse item devemos primeiro verificar que a reta e o plano que nos são dados são paralelos.

Bom, para verificarmos o paralelismo como vimos no tópico “Posições Relativas de Retas e Planos” se temos o vetor diretor da reta e a equação geral do plano com vetor normal , basta verificarmos se:

E então testar um ponto para verificar se são paralelos ou se a reta está contida no plano.

Vamos retirar da expressões que temos as informações:

Assim,

Já verificamos que só falta verificar que um ponto qualquer da reta não pertence ao plano. Pegando o ponto que pertence á reta e substituindo na equação geral do plano:

Portanto, a reta está contida no plano, ou seja, a distância entre eles é ZERO.

1. Temos que mostrar que as retas e são reversas. Para isso devemos fazer o produto misto entre os vetores e o mesmo deve dar diferente de ZERO.

Vamos primeiro retirar as informações:

Com esses dados vamos montar o produto misto :

Portanto, as retas são reversas.

Passo 2

2. Agora, devemos determinar quais são os planos e de forma que: e é paralelo a . Temos a seguinte figura:



Para determinar um plano temos duas possibilidade: um ponto e seu vetor normal, ouu, dois vetores paralelos ao plano e um ponto. No nosso caso temos a segunda opção, pois temos o vetor diretor da reta que está no plano e além disso o vetor diretor da outra reta é paralelo ao plano, porque o enunciado diz que os planos são paralelos. Assim, com os dois vetores diretores podemos encontrar o vetor normal que será normal à e a . Assim, temos:

Fazendo o produto vetorial entre esses dois vetores obteremos o vetor normal aos planos:

Tendo o vetor normal ao plano e um ponto pertence à ele, determinamos a equação geral dos planos. Começando com o plano que possui o ponto e ,

Portanto,

Fazendo para o plano que possui o ponto e :

Assim,

Passo 3

3. Vamos agora calcular a distância entre os plano e . Como é a distância entre planos, vamos escolher um ponto de um dos planos e fazer a distância do ponto escolhido até o outro plano. Se escolhermos o ponto , então o plano para calcularmos a distância será , teremos . Colocando na fórmula, temos:

Portanto,a distância entre os planos é

Passo 4

4. Ufa!! Está quase terminando!! Uhulll

Para finalizar só falta acharmos o ponto que pertence à e o ponto que pertence à de forma que a reta que é formada por esses dois pontos seja perpendicular às reta e . Então, teremos a seguinte figura:

Sabemos que as retas são reversas e vimos na teoria que para achar a distância entre retas reversas precisamos encontrar os ponto e como o enunciado nos pede. Então, vamos primeiro escrever a equação vetorial das retas para então escrevermos os pontos e .

Se pertence à , então:

E pertence à :

Se as retas devem ser perpendiculares à reta formada pelo vetor então, o produto interno entre o vetor e os vetores diretores deve ser ZERO:

Fazendo o produto interno:

Com esses dois produtos internos temos um sisteminha:

Substituindo os valores, temos que:

Substituindo e , achamos e :

Portanto, chegamos onde queríamos: