Distância entre ponto e reta

Bora começar!

Para calcular a distância entre ponto e reta precisamos, primeiro, escrever um ponto genérico da reta , que será o ponto:

Aí, a gente lembra dessa “figurosa” e pensa: “Ahhh, agora que eu calculo o vetor  ”

Isso aí, pequeno gafanhoto!

Sabendo o jeitão de podemos determinar o vetor :

Da equação da reta tiramos que e já descobrimos que

Também sabemos da teoria que o vetor diretor da reta e o vetor são ortogonais, logo:

Calculando:

Agora que achamos que podemos calcular :

Agora, para terminar (UFA!) vamos achar a distancia entre o ponto e a reta , é só calcular a distância entre os ponto e .

Não lembra a fórmula??

A gente relembra!

Substituindo os valores:

O exercício nos pede para calcular a distância entre um ponto e uma reta. Com a equação da reta fornecida conseguimos tirar as seguintes informações:

Dados:

Vimos como calcular diferentes distâncias na teoria! Não lembra, como calcula entre ponto e reta?! Vamos relembrar!!

Quando queremos a distância entre ponto e reta, sempre temos que ter em mente a seguinte figura:

Nós temos o ponto e temos o vetor diretor da reta . O próximo passo é determinar o ponto genericamente. Para isso, vamos escrever primeiro a equação vetorial da reta :

Assim, é:

Sabendo o jeitão de podemos determinar o vetor :

Temos da equação da reta que e descobrimos que Sabemos da teoria que o vetor diretor da reta e o vetor são ortogonais, logo:

Calculando:

Agora que achamos que podemos calcular :

Estamos quase terminando!! Agora, para acharmos a distancia entre o ponto e a reta , é só calcular a distância entre os ponto e

Substituindo os valores:

Vamos começar encontrando a equação dessa reta na forma vetorial! Para isso, precisamos de um ponto da reta e de um vetor diretor!

O ponto da reta pode ser qualquer um dos que foram dados no enunciado! Para o vetor diretor, basta fazermos

Com essas informações conseguimos escrever a equação vetorial da reta!

Agora vamos calcular o ponto , genérico da reta. Para isso, vamos escrever primeiro a equação vetorial da reta :

Assim, é:

Sabendo o jeitão de podemos determinar o vetor :

Temos da equação da reta que e descobrimos que .Sabemos da teoria que o vetor diretor da reta e o vetor são ortogonais, logo:

Calculando:

Agora que achamos que podemos calcular :

Estamos quase terminando!! Agora, para acharmos a distancia entre o ponto e a reta , é só calcular a distância entre os ponto e

Substituindo os valores:

Esse exercício é tranquilinho, só precisamos entender o que esse enunciado significa!

Vamos pensar para o eixo primeiro. Se pensarmos na reta do eixo , sabemos que nela e .

Beleza, agora vamos olhar para o ponto . A coordenada desse ponto já pertence ao eixo , ou seja, já corresponde a (no eixo ). Então, quando colocássemos esse valor na fórmula da distância entre pontos daria zero, visto que teríamos . O que faz sentido, já que a distância entre um ponto, no eixo , e o eixo tem que ser zero!

Logo, para calcular a distância de ao eixo (com e , já que estamos no eixo ), seria o equivalente a calcular a distância de ao ponto !

Então vamos calcular!

Substituindo os valores:

O mesmo vai valer para o eixo ! Só que agora calcularemos a distância de ao ponto , visto que a nossa coordenada no eixo é .

Para o eixo , faremos a distância de ao ponto !

O problema nos pede para encontrarmos os pontos que pertencem à reta e que distam do ponto . Então, para isso devemos encontrar o ponto genérico de para então calcularmos a distância entre dois pontos que sabemos que vale .

Temos do enunciado os seguinte sistema para

Vamos fazer algumas manipulações! Podemos escrever o sistema da seguinte maneira:

Substraindo a segunda equação da primeira, temos:

E pela primeira equação sabemos que , então podemos escrever o nosso ponto pertence à da seguinte forma:

Agora que temos nosso ponto podemos calcular que a distância entre e vale . Pela fórmula de distância entre dois pontos:

Resolvendo:

Elevando os dois lados ao quadrado:

Sabemos agora que ou podemos então substituir em :

Pronto!! Os pontos de que distam de , são:

O problema nos dá a equação da reta e pede para determinarmos o ponto de que seja equidistante, ou seja, tenha a mesma distância dos pontos e . Assim, sendo um ponto de que queremos determinar, teríamos:

Como vamos achar ?

Relaxa! Vamos te explicar!!

Sabemos que pertence à reta , certo? Então, se temos a equação vetorial de conseguiremos excrever :

Já sabemos que e sabemos que e , então agora é fazer:

Subsituindo na formuleta de distância entre pontos, temos:

Igualando :

Elevando ao quadrado os dois lados:

Se , substituindo esse valor em:

Então, o ponto de equiditantes à e é:

Antes de tudo, vamos fazer um desenho para gente entender direitinho o que esse cara quer:

Uhh, então é esse h que o moço quer. Mas como calcula ele mesmo??

Haha, vou explicar! Reparem que o valor de h é exatamente igual ao valor da distância do ponto à reta que passa por e !

Vamos começar achando a equação dessa reta!

Sabemos que, para achar a equação de uma reta, precisamos de um vetor diretor e de um ponto pertencente a reta. Com os pontos e , conseguimos calcular   (que é o vetor diretor da reta)

Agora só precisamos de um ponto da reta! Vou pegar o ponto , você poderia ter usado o também. Com isso, a equação da nossa reta fica:

Agora ficou um problema normal de distância entre ponto e reta!

Vamos achar o ponto genérico da reta:

Agora o vetor  

Vamos achar entonces:

Calculando:

Agora que achamos que podemos calcular :

Último passo, galera!! Agora, para acharmos a altura h é só calcular a distância entre os pontos e

Substituindo os valores:

Vamos começar como se fossemos calcular a distância entre a reta e o ponto normalmente.

Para calcular a distância entre ponto e reta precisamos, primeiro, escrever um ponto genérico da reta , que será o ponto:

Sabendo o jeitão de podemos determinar o vetor :

Da equação da reta tiramos que e já descobrimos que

Também sabemos da teoria que o vetor diretor da reta e o vetor são ortogonais, logo:

Calculando:

Agora que achamos que podemos calcular :

Agora, para terminar vamos substituir todas as informações na fórmula da distância entre pontos.

Não lembra a fórmula??

A gente relembra!

Substituindo os valores:

Elevando os dois lados ao quadrado,

Passando o para o outro lado,