Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcional – Caso Homogêneo

Ver Teoria
Exercício 712345689101112

Enunciado

Considere o sistema

X ' t = 2 2 - 1 4   X t

a) Determine a solução geral do sistema.

b) Determine a solução do sistema com condição inicial X 0 = 1 1 .

Passo 1

a) Cara, esse é um sistema homogêneo. A solução dele tem a cara:

X t = α A + β I ⋅ c 1 c 2

O que a gente precisa fazer é calcular α e β . Isso é uma questão para a gente resolver usando o cálculo funcional. Bora!

A gente precisa começar achando os autovalores de A , que é a matriz que aparece no sistema

A = 2 2 - 1 4  

Vamos usar a equação

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz identidade. Substituindo as coisinhas que a gente tem:

2 2 - 1 4   - λ 0 0 λ = 0

2 - λ 2 - 1 4 - λ = 0

Calculando esse determinante:

2 - λ 4 - λ + 2 = 0 ∴ λ 2 - 6 λ + 10 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau, achamos soluções com partes complexas

λ 1 = 3 + i ,     λ 2 = 3 - i

Passo 2

Como nossos dois autovalores são complexos, vamos comparar eles com

λ 1 = a + b i ,     λ 2 = a - b i

Daí a gente tira

a = 3 ,     b = 1

E aí vamos resolver esse sistema para achar α e β :

λ 1 α + β = e a t cos ⁡ b t + i   s e n   b t λ 2 α + β = e a t cos ⁡ b t - i   s e n   b t ∴ 3 + i α + β = e 3 t cos ⁡ t + i   s e n   t 3 - i α + β = e 3 t cos ⁡ t - i   s e n   t

Substraindo a primeira equação pela segunda:

2 i α = e 3 t 2 i   s e n   t ∴ α = e 3 t s e n   t

Substituindo na primeira:

3 e 3 t s e n   t + e 3 t i   s e n   t + β = e 3 t cos ⁡ t + i   s e n   t

β = e 3 t cos ⁡ t - 3   s e n   t

Passo 3

Agora é montar a nossa solução:

X t = α A + β I ⋅ c 1 c 2

Onde I é a matriz identidade. Aí fica:

X t = α 2 2 - 1 4   + β 1 0 0 1 ⋅ c 1 c 2

X t = e 3 t s e n   t 2 2 - 1 4   + e 3 t cos ⁡ t - 3   s e n   t 1 0 0 1 ⋅ c 1 c 2

X t = 2 e 3 t s e n   t 2 e 3 t s e n   t - e 3 t s e n   t 4 e 3 t s e n   t   + e 3 t cos ⁡ t - 3   s e n   t 0 0 e 3 t cos ⁡ t - 3   s e n   t

X t = e 3 t - s e n   t + cos ⁡ t 2 e 3 t s e n   t - e 3 t s e n   t e 3 t s e n   t + cos ⁡ t   ⋅ c 1 c 2

Prontinho!

Passo 4

b) Vamos aplicar

X 0 = 1 1

Em

X t = e 3 t - s e n   t + cos ⁡ t 2 e 3 t s e n   t - e 3 t s e n   t e 3 t s e n   t + cos ⁡ t   ⋅ c 1 c 2

X 0 = 1 0 0 1   ⋅ c 1 c 2 = 1 1

Daí

c 1 c 2 = 1 1

Nossa solução fica:

X t = e 3 t - s e n   t + cos ⁡ t 2 e 3 t s e n   t - e 3 t s e n   t e 3 t s e n   t + cos ⁡ t   ⋅ 1 1

X t = e 3 t - s e n   t + cos ⁡ t 2 e 3 t s e n   t - e 3 t s e n   t e 3 t s e n   t + cos ⁡ t  

Uhul! Arrasamos!

Resposta

a)   X t = e 3 t - s e n   t + cos ⁡ t 2 e 3 t s e n   t - e 3 t s e n   t e 3 t s e n   t + cos ⁡ t   ⋅ c 1 c 2

b) X t = e 3 t - s e n   t + cos ⁡ t 2 e 3 t s e n   t - e 3 t s e n   t e 3 t s e n   t + cos ⁡ t