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Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcional – Caso Homogêneo

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Exercício 312456789101112

Enunciado

Considere o sistema

X ' t = 2 3 2 1 X t

Seja X = x 1 x 2 uma solução do sistema tal que:

lim t → ∞ ⁡ X t = 0 0

E

x 1 0 = 1

Calcule x 2 0

Passo 1

Aqui a primeira coisa que temos que repara é que o sistema já está na forma matricial, dessa forma a matriz A vai ser

A = 2 3 2 1

Agora temos que achar seus autovalores

Passo 2

Vamos aos autovalores

2 - λ 3 2 1 - λ = 0

2 - λ 1 - λ - 2 3 = 0

2 - 2 λ - λ + λ 2 - 6 = 0

2 - 3 λ + λ 2 - 6 = 0

λ 2 - 3 λ - 4 = 0

λ 1 = - - 3 + - 3 2 - 4 1 - 4 2.1 = 3 + 9 + 16 2.1 = 3 + 25 2 = 3 + 5 2 = 8 2 = 4

λ 2 = - - 3 - - 3 2 - 4 1 - 4 2.1 = 3 - 9 + 16 2.1 = 3 - 25 2 = 3 - 5 2 = - 2 2 = - 1

Esse é o caso de autovalores diferentes, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 3

Como temos autovalores diferentes o sistema para achar α e β vai ser

λ 1 α + β = e λ 1 t   λ 2 α + β = e λ 2 t

Com os nossos valores vai ficar

4 α + β = e 4 t   - α + β = e - t

Subtraindo as duas equações vamos ter

4 α + α = e 4 t - e - t

5 α = e 4 t - e - t

α = e 4 t - e - t 5

O valor de β vai ser

β = α + e - t

β = e 4 t - e - t 5 + e - t

β = e 4 t + 4 e - t 5

Passo 4

A nossa solução vai ser

X = α A + β I ∙ C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X = e 4 t - e - t 5 2 3 2 1 + e 4 t + 4 e - t 5 1 0 0 1 ∙ C 1 C 2

X = 2 e 4 t - 2 e - t 5 3 e 4 t - 3 e - t 5 2 e 4 t - 2 e - t 5 e 4 t - e - t 5 + e 4 t + 4 e - t 5 0 0 e 4 t + 4 e - t 5 ∙ C 1 C 2

X = 3 e 4 t + 2 e - t 5 3 e 4 t - 3 e - t 5 2 e 4 t - 2 e - t 5 2 e 4 t + 3 e - t 5 ∙ C 1 C 2

X = C 1 3 e 4 t + 2 e - t 5 + C 2 3 e 4 t - 3 e - t 5 C 1 2 e 4 t - 2 e - t 5 + C 2 2 e 4 t + 3 e - t 5

X = 3 C 1 + 3 C 2 e 4 t + 2 C 1 - 3 C 2 e - t 5 2 C 1 + 2 C 2 e 4 t + - 2 C 1 + 3 C 2 e - t 5

Passo 5

Vamos ver aquela história de limite ir para zero.

Se fizermos o limite vai depender de e 4 t e e - t vamos ver cada um desses limites separados

lim t → ∞ ⁡ e - t = e - ∞ = 0

Beleza esse deu zero como queríamos, vamos ver agora o outro

lim t → ∞ ⁡ e 4 t = e 4 . ∞ = ∞

Agora temos um problema, temos aquele infinito, a forma de evitar isso é fazer com que e 4 t não apareça assim vamos fazer

3 C 1 + 3 C 2 = 0

2 C 1 + 2 C 2 = 0

Assim garantimos que aquilo tudo vai ser 0 . Repara que isso não é indeterminação 0 ∞ isso porque não tende a 0 , mas sim ele é zero.

Repara que temos a mesma relação entre C 1 e C 2 nas duas equações, que vai ser

C 1 = - C 2

Passo 6

Já achamos C 1 Vamos ver agora a outra condição que ele deu x 1 0 = 1

Repara que temos

x 1 t = 3 C 1 + 3 C 2 e 4 t + 2 C 1 - 3 C 2 e - t 5

Isso nos diz que

x 1 0 = 3 C 1 + 3 C 2 e 4.0 + 2 C 1 - 3 C 2 e - 0 5

x 1 0 = 3 C 1 + 3 C 2 + 2 C 1 - 3 C 2 5

x 1 0 = 5 C 1 5

1 = C 1

Então

C 2 = - 1

Agora temos as constantes e a solução vai ser

X = 3 + 3 - 1 e 4 t + 2 - 3 - 1 e - t 5 2 + 2 - 1 e 4 t + - 2 + 3 - 1 e - t 5

X = 2 + 3 e - t 5 - 2 - 3 e - t 5

X = 5 e - t 5 - 5 e - t 5

X = e - t - e - t

Passo 7

Repara que isso nos diz que

x 2 t = - e - t

Então

x 2 0 = - e - 0

x 2 0 = - 1

Resposta

x 2 0 = - 1