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Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcional – Caso Homogêneo

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Exercício 101234567891112

Enunciado

a) Determine a solução geral do sistema.

X ' t = 1 - 1 5 - 3   X t

b) Encontre agora a solução do sistema anterior, dada a condição inicial

X 0 = 1 1

Passo 1

a) Cara, esse é um sistema homogêneo. A solução dele tem a cara:

X t = α A + β I ⋅ c 1 c 2

O que a gente precisa fazer é calcular α e β . Isso é uma questão para a gente resolver usando o cálculo funcional. Bora!

A gente precisa começar achando os autovalores de A , que é a matriz que aparece no sistema

A = 1 - 1 5 - 3  

Vamos usar a equação

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz identidade. Substituindo as coisinhas que a gente tem:

1 - 1 5 - 3   - λ 0 0 λ = 0

1 - λ - 1 5 - 3 - λ = 0

Calculando esse determinante:

1 - λ - 3 - λ + 5 = 0 ∴ λ 2 + 2 λ + 2 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau, achamos soluções com partes complexas

λ 1 = - 1 + i ,     λ 2 = - 1 - i

Passo 2

Como nossos dois autovalores são complexos, vamos comparar eles com

λ 1 = a + b i ,     λ 2 = a - b i

Daí a gente tira

a = - 1 ,     b = 1

E aí vamos resolver esse sistema para achar α e β :

λ 1 α + β = e a t cos ⁡ b t + i   s e n   b t λ 2 α + β = e a t cos ⁡ b t - i   s e n   b t ∴ - 1 + i α + β = e - t cos ⁡ t + i   s e n   t - 1 - i α + β = e - t cos ⁡ t - i   s e n   t

Substraindo a primeira equação pela segunda:

2 i α = e - t 2 i   s e n   t ∴ α = e - t s e n   t

Substituindo na primeira:

- e - t s e n   t + e - t i   s e n   t + β = e - t cos ⁡ t + i   s e n   t

β = e - t cos ⁡ t + s e n   t

Passo 3

Agora é montar a nossa solução:

X t = α A + β I ⋅ c 1 c 2

Onde I é a matriz identidade. Aí fica:

X t = α 1 - 1 5 - 3   + β 1 0 0 1 ⋅ c 1 c 2

X t = e - t s e n   t 1 - 1 5 - 3   + e - t cos ⁡ t +   s e n   t 1 0 0 1 ⋅ c 1 c 2

X t = e - t s e n   t - e - t s e n   t 5 e - t s e n   t - 3 e - t s e n   t   + e - t cos ⁡ t +   s e n   t 0 0 e - t cos ⁡ t +   s e n   t

X t = e - t 2 s e n   t + cos ⁡ t - e - t s e n   t 5 e - t s e n   t e - t - 2 s e n   t + cos ⁡ t   ⋅ c 1 c 2

Prontinho!

Passo 4

b) Vamos aplicar

X 0 = 1 1

Em

X t = e - t 2 s e n   t + cos ⁡ t - e - t s e n   t 5 e - t s e n   t e - t - 2 s e n   t + cos ⁡ t   ⋅ c 1 c 2

X 0 = 1 0 0 1   ⋅ c 1 c 2 = 1 1

Daí

c 1 c 2 = 1 1

Nossa solução fica:

X t = e - t 2 s e n   t + cos ⁡ t - e - t s e n   t 5 e - t s e n   t e - t - 2 s e n   t + cos ⁡ t   ⋅ 1 1

X t = e - t 2 s e n   t + cos ⁡ t - e - t s e n   t 5 e - t s e n   t e - t - 2 s e n   t + cos ⁡ t  

Uhul! Arrasamos!

Resposta

a)   X t = e - t 2 s e n   t + cos ⁡ t - e - t s e n   t 5 e - t s e n   t e - t - 2 s e n   t + cos ⁡ t   ⋅ c 1 c 2

b) X t = e - t 2 s e n   t + cos ⁡ t - e - t s e n   t 5 e - t s e n   t e - t - 2 s e n   t + cos ⁡ t