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Exercícios Resolvidos de Cálculo Funcional – Caso Homogêneo

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Exercício 213456789101112

Enunciado

Encontre a solução do sistema de EDO dado.

  X ' = 3 2 4 1 X

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo cálculo funcional.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = 3 2 4 1

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

3 - λ 2 4 1 - λ = 0

3 - λ 1 - λ - 2 . 4 = 0

λ 2 - 4 λ + 3 - 8 = 0

λ 2 - 4 λ - 5 = 0

λ 1 = - - 4 + - 4 2 - 4 - 5 1 2.1 = 4 + 16 + 20 2 = 4 + 36 2 = 4 + 6 2 = 10 2 = 5

λ 2 = - - 4 - - 4 2 - 4 - 5 1 2.1 = 4 - 16 + 20 2 = 4 - 36 2 = 4 - 6 2 = - 2 2 = - 1

Esse é o caso de autovalores diferentes, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 3

Como temos autovalores diferentes o sistema para achar α e β vai ser

λ 1 α + β = e λ 1 t   λ 2 α + β = e λ 2 t

Com os nossos valores vai ficar

5 α + β = e 5 t   - α + β = e - t

Subtraindo as duas equações vamos ter

5 α + α = e 5 t - e - t

6 α = e 5 t - e - t

α = e 5 t - e - t 6

O valor de β vai ser

β = α + e - t

β = e 5 t - e - t 6 + e - t

β = e 5 t + 5 e - t 6

Passo 4

A nossa solução vai ser

X = α A + β I ∙ C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X = e 5 t - e - t 6 3 2 4 1 + e 5 t + 5 e - t 6 1 0 0 1 ∙ C 1 C 2

X = 3 e 5 t - 3 e - t 6 2 e 5 t - 2 e - t 6 2 e 5 t - 2 e - t 3 e 5 t - e - t 6 + e 5 t + 5 e - t 6 0 0 e 5 t + 5 e - t 6 ∙ C 1 C 2

X = 4 e 5 t + 2 e - t 6 2 e 5 t - 2 e - t 6 2 e 5 t - 2 e - t 3 2 e 5 t + 4 e - t 6 ∙ C 1 C 2

X = C 1 4 e 5 t + 2 e - t 6 + C 2 2 e 5 t - 2 e - t 6 C 1 2 e 5 t - 2 e - t 3 + C 2 2 e 5 t + 4 e - t 6

X = 4 C 1 + 2 C 2 e 5 t + 2 C 1 - 2 C 2 e - t 6 4 C 1 + 2 C 2 e 5 t + - 4 C 1 + 4 C 2 e - t 6

Resposta

X = 4 C 1 + 2 C 2 e 5 t + 2 C 1 - 2 C 2 e - t 6 4 C 1 + 2 C 2 e 5 t + - 4 C 1 + 4 C 2 e - t 6