Teoria

Introdução

Faaaaala aí, tudo certinho? Vamos dar uma recapitulada: até agora nós vimos ajuste linear de uma função, mas e se a função tiver um comportamento muito diferente, dá pra usar o método dos mínimos quadrados?

Muitas vezes, nós temos dados experimentais em que o ajuste linear não é adequado e não pode ser considerado. Neste caso, necessitamos de outras famílias de funções que representem bem o conjunto de dados.

Agora um dos parâmetros foi para dentro da função e não é mais linear. E agora, o que fazemos?

O Responde Aí, é claro! Então vamos ver como prosseguir nesses casos.

Caso não linear

O primeiro caso é o ajuste exponencial, se nós obtemos os dados experimentais dispostos como uma exponencial a qual sugere que devemos aproximar. A dificuldade de aplicação do método dos mínimos quadrados neste caso consiste na tentativa de minimizar o erro. Considerando a e b constantes, temos a função:

  φ x = y = a e b x

Aplicando logaritmo dos dois lados temos:

  l n ⁡ ( y ) = l n ⁡ ( a e b x ) = ln ⁡ a + b x

Substituindo:

ln ⁡ y = Y

l n a = α 0

b = α 1

x = X

Com todas essas considerações, nós conseguimos:

Y = α 0 + α 1 . X

Que é um problema que sabemos resolver pois é linear!! Não contavam com a nossa astúcia! Vamos ver um exemplo de como isso funciona na prática.

Suponha que você obteve a tabela de abaixo de uma experiência:

Se jogarmos isso em um diagrama no diagrama de dispersão temos:

Que parece ser uma exponencial decrescente então vamos aproximar com essa função aqui:

  φ x = y = a e b x

Agora reescrevemos a tabela trocando f x por ln ⁡ f x que é o nosso y :

Se jogarmos novamente esses pontos em um diagrama de dispersão, teremos:

E como já era de se esperar, temos uma reta! Se a nossa aproximação não for razoável, o que nesse exemplo quer dizer que os pontos não se comportam como uma função da família a e b x , esse diagrama de dispersão não daria uma reta! Esse diagrama é o chamado teste de alinhamento e serve para verificarmos se escolhemos uma boa família de funções para aproximar os pontos da tabela.

A menos que o exercício peça, ele é opcional, você faz se quiser pra ter certeza que ta indo no caminho certo. Agora a gente resolve normalmente usando:

ϕ x = a 0 + a 1 x

Vamos montar aquela tabela de organização, e a primeira e segunda coluna são basicamente o que o exercício dá, então é só preencher x k e l n ⁡ ( f ( x k   ) ) , . Para cada linha da tabela iremos preencher também cada valor de x k elevado ao quadrado, e também cada valor de x k multiplicando pelo valor da função no ponto x k . l n ⁡ ( f ( x k   ) ) . Pra fazer o somatório, basta somar os valores totais de caaaaaada coluna.

Reorganizando direitinho, as fórmulas para α 0   e   α 1 são:

α 0 = [ ( ∑ i = 1 5 x i       2 ) ( ∑ i = 1 5 l n ⁡ ( f ( x i   ) ) ) ] - [ ( ∑   i = 1 5 l n ⁡ ( f ( x i   ) ) . x i ) . ( ∑ i = 1 5 x i     ) ] m ∑ i = 1 5 x i       2 - ∑ i = 1 5 x i     2

α 1 = m ∑   i = 1 5 l n ⁡ ( f ( x i   ) ) . x i - [ ∑ i = 1 5 x i     . ∑ i = 1 5 l n ⁡ ( f ( x i   ) ) ] m ∑ i = 1 5 x i       2 - ∑ i = 1 5 x i     2

Jogando na fórmulinha aqueles valores que nós organizamos na tabela fica:

α 0 = [ 7,45 3,7532 - ( - 8,1164.0,3 ) ] 6 7,45 - 0,3 2 = 0 , 6814

α 1 = [ 6 - 8,1164 - ( 0,3 . 3 , 7532 ) ] 6 7,45 - 0,3 2 = - 1,1169  

Agora lembrando das trocas de variáveis que a gente fez, temos que:

l n a = α 0   ⇒ α 0 = 1,9766

a 1 = b = - 1,1169

Assim, nossa função é:

φ x = a e b x = 1,9766 e - 1 . 1169 x

Show? E só pra mostrar pra vocês que realmente funciona olha como essa função que a gente encontrou se ajeita aos pontos:

É tão bonito quando as coisas funcionam né? haha.

Casos Comuns

Bom, naturalmente a forma que você vai usar para linearizar a função vai depender muito do problema, mas vou mostrar pra vocês algumas linearizações manjadas ;)

1. Hiperbólica

y ≈ 1 α 0 + α 1 x = φ x

Y = 1 y ≈ α 0 + α 1 x = ϕ x

2.Exponencial

y ≈ a e b x = φ x

Y = ln ⁡ y ≈ ln ⁡ a ⏟ a 1 + b ⏟ a 2 x = a 1 + a 2 x = ϕ x

3.Potencial

y ≈ a x b = φ x

Y = ln ⁡ a x b ≈ ln ⁡ a ⏟ a 1 + l n ⁡ ( x b ) = l n ⁡ ( a ) + b ln ⁡ x = ϕ x

Nesse caso, para tornar a função completamente linear podemos fazer uma outra mudança de variável w = ln ⁡ x , obtendo Y = a 0 + a 1 w . Isso é opcional pois como sabemos podemos aplicar o método dos mínimos quadrados em funções como a 0 + a 1 ln ⁡ x .

Algoritmo

Não tem algoritmo aqui porque a linearização que você vai fazer depende do problema e, portanto, não existe um algoritmo geral. Depois de fazer a linearização é só jogar no algoritmo dos mínimos quadrados que vimos no último tópico

Vamos fazer uns exercícios pra fixar então!

Casos Comuns

Algoritmo

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