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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 10

10. Substitua y ' ( x ) jo PVI abaixo por y x + h - y x / h e obtenha uma equação diferencial de diferenças para aproximar a solução da equação diferencial.

Faça h = 0.2 e h = 0.1 e encontre, em cada caso, uma aproximação para y ( 1.6 ) . Analise os resultados.

y ' = 1 x ( 2 y + x + 1 ) y 1 = 0.5

Solução exata: y x = 2 x 2 - x - 1 / 2

Passo 1

Se liga só! Vamos usar o método de Runge-Kutta de 4 ª ordem pra resolver essa equação...

A fórmula de recorrência do método de Runge-Kutta de 4 ª ordem é dada por...

y n + 1 = 1 6 ( k 1 n + 2 k 2 n + 2 k 3 n + k 4 n )

Sendo assim, chamando y ' d e f x n , y n , temos para k 1 n

  k 1 ( n ) = h f ( x n , y n )

k 1 n = h n h + 1 ( 2 y n + n h + 2 )

k 2 n = h f x n + h 2 , y n + k 1 ( n ) 2

k 2 n = h n h + 3 / 2 2 y n + k 1 n 2 + n h + h 2 + 2

k 3 n = h f x n + h 2 , y n + k 2 n 2

k 3 n = h n h + 3 / 2 2 y n + k 2 n 2 + n h + h 2 + 2

k 4 n = h f x n + h 2 , y n + k 3 n 2

k 4 n = h n h + 3 / 2 2 y n + k 3 n 2 + n h + h 2 + 2

Passo 2

Desse modo, utilizando uma ferramenta computacional...

Para h = 0.2 , obtemos o seguinte resultado para y ( 1.6 ) :

y ( 1.6 ) ≅ 2.7

Já para h = 0.1 , obtemos o seguinte resultado...

y 1.6 ≅ 2.8242597

Passo 3

Pra testar, vamos recorrer à solução exata da E D O :

y x = 2 x 2 - x - 1 / 2

E substituir nela x = 1.6 ...

y x = 2 x 2 - x - 1 / 2

y 1.6 = 2 ⋅ 1.6 2 - 1.6 - 1 / 2

y 1.6 = 3.02

Como podemos ver aí... Os resultados não foram tão satisfatórios. Deu uma diferença de 0.2 do resultado real pro melhor resultado que obtivemos.

Resposta

P a r a   h = 0.2 → y 1.6 ≅ 2.7

P a r a   h = 0.1 → y 1.6 ≅ 2.8242597

R e s u l t a d o   r e a l → y 1.6 = 3.02

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15. Calcule y ( 1 ) para y ' = y - x ; y 0 = 2 , utilizando Euler e Runge-Kutta de 4 ª ª ordem com h = 0.2 . Comparar seus resultados com os valores exatos de y ( x ) nos pontos x i , sabendo que y x