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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 2

2. O problema de valor inicial

y ' = - 20 y y 0 = 1 ,       t e m   p o r   ú n i c a   s o l u ç ã o   e x a t a   y x = e - 20 x

a) Verifique a afirmação acima

b) Verifique que qualquer método de Runge-Kutta de 2ª ordem, quando aplicado a este problema, nos fornece

y n + 1 = 1 - 20 h + 200 h 2 n + 1 ,     n = 0 ,   1 ,   2 , …

Passo 1

a) E aí meus queridossss! Se liga só! Temos que descobrir a solução exata da equação diferencial y ' = - 20 y .

Pois muito bem! É exatamente isso que vamos fazer!

Se liga só! A primeira coisa que temos que fazer pra resolver uma equação diferencial é reescrevê-la como uma EDO de variáveis separáveis.

y ' = - 20 y

d y d x = - 20 y

d y y = - 20 d x

Feito isso, é só integrar os dois lados:

∫ d y y = - ∫ 20 d x

E obtemos então, que...

ln ⁡ y = - 20 x + c

Onde c é uma constante pertencente aos Reais. Isolando y :

y = e - 20 x + c

y t = e - 20 x + c

Passo 2

Agora é uma questão de ver qual o valor de c para y 0 = 1 .

Molezinha!!! É só substituir na equação t = 0 ...

y t = e - 20 x + c

y 0 = 1 = e - 20 ⋅ 0 + c

e c = 1

c = ln ⁡ 1 = 0

E obtemos então, que a solução exata será...

y t = e 20 x

Passo 3

b) Vamos ver agora, a aplicação do método de Runge-Kutta de 2ª ordem pro nosso problema.

Primeiro, bora pegar o y ' , que já tá isolado. Ele vai ser o que a gente chama de f ( t n , y n ) !

E para o nosso problema, temos então, que...

f x n , y n = - 20 y n

y 0 = 1

Se liga só! O método de Runge-Kutta de 2ª ordem é o método de Euler aperfeiçoado, que tem a seguinte cara...

y n + 1 = y n + h 2 [ f x n , y n + f x n + 1 , y n + h f x n , y n

Vamos ver por exemplo, como ficaria o y 1 para uma iteração n = 0 ;

y 1 = y 0 + h 2 [ f x 0 , y 0 + f x 1 , y 0 + h f x 0 , y 0

y 1 = 1 + h 2 [ - 20 - 20 ( 1 - 20 h ) ]

y 1 = 1 + h 2 [ - 40 + 400 h ]

y 1 = 1 - 20 h + 200 h 2

E agora, vamos ver como fica o y 2 para a segunda iteração n = 1 ;

y 2 = y 1 + h 2 [ f x 1 , y 1 + f x 2 , y 1 + h f x 1 , y 1

y 2 = y 1 + h 2 [ f h , 1 - 20 h + 200 h 2 + h f 2 h , 1 - 20 h + 200 h 2

y 2 = y 1 + h 2 - 20 1 - 20 h + 200 h 2 - 20 1 - 20 h + 200 h 2 - 20 h 1 - 20 h + 200 h 2

y 2 = y 1 + h 2 - 20 + 400 h - 4000 h 2 - 20 1 - 20 h + 200 h 2 - 20 h + 400 h 2 - 4000 h 3

y 2 = y 1 + h 2 - 40 + 400 h - 4000 h 2 + 400 h - 4000 h 2 + 400 h - 8000 h 2 + 80000 h 3

y 2 = y 1 + h 2 - 40 + 1200 h - 16000 h 2 + 80000 h 3

y 2 = y 1 - 20 h + 600 h 2 - 8000 h 3 + 40000 h 4

y 2 = 1 - 20 h + 200 h 2 - 20 h + 600 h 2 - 8000 h 3 + 40000 h 4

y 2 = 1 - 40 h + 800 h 2 - 8000 h 3 + 40000 h 4

y 2 = 1 - 20 h + 200 h 2 2

Passo 4

Viu! Tem um padrão aí! Quando a gente utilizou a primeira iteração, com n = 0 , a fórmula de y 1 obtida foi...

y 1 = 1 - 20 h + 200 h 2 = 1 - 20 h + 200 h 2 1

Já quando usamos a segunda iteração, com n = 1 , o valor de y 2 obtido foi...

y 2 = 1 - 20 h + 200 h 2 2

Se pegássemos n = 2 na terceira iteração, que não vamos fazer aqui, devido ao tamanho bem grande, y 3 seria dado por...

y 3 = 1 - 20 h + 200 h 2 2

Sendo assim, para um n indo de 0 até o infinito, temos a seguinte fórmula abaixo para y n + 1 :

y n + 1 = 1 - 20 h + 200 h 2 n + 1 ,     n = 0 ,   1 ,   2 , …

Resposta

a) y t = e 20 t

b)

y n + 1 = 1 - 20 h + 200 h 2 n + 1 ,     n = 0 ,   1 ,   2 , …

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Calcule y ( 1 ) para y ' = y - x ,y ( 0 ) = 2 , utilizando Euler e Runge-Kutta de 4º ordem com h=0.2. Comparar seus resultados com os valores exatos de y(x) nos pontos x i , sabendo que y ( x ) = e x
10. Substitua y ' ( x ) jo PVI abaixo por y x + h - y x / h e obtenha uma equação diferencial de diferenças para aproximar a solução da equação diferencial.Faça h = 0.2 e h = 0.1 e encontre, em cada c
11. Use a aproximação do exercício 10 para o problema do exercício 3
14. Resolva o PVI do exercício 10 por outros métodos e vários valores de h