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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 14

14. Resolva o PVI do exercício 10 por outros métodos e vários valores de h

Passo 1

E aí meus caros e caras!

Se liga só! O PVI do exercício 10 é dado por...

y ' = 1 x ( 2 y + x + 1 ) y 1 = 0.5

E o que a questão pede é pra gente resolver ele usando outros métodos e vários valores de h . O que nós temos que fazer aqui é achar o y ( 1.6 ) ... Por isso, vamos recorrer aos métodos de Euler, Euler modificado e Runge-Kutta de 4 ª ordem.

Passo 2

Chamando então y ' de f ( x n , y n ) , temos para o método de Euler, a seguinte fórmula de recorrência...

y n + 1 = y n + h f ( x n , y n )

y n + 1 = y n + h x n ( 2 y n + x n + 1 )

y n + 1 = y n + h 1 + n h ( 2 y n + n h + 2 )

E fazendo um código em linguagem C para isso, chegamos ao exposto na seguinte imagem abaixo, para h = 0.2 ;

Compilando ele, obtemos que...

y 1.6 = 2.7

Passo 3

Usando dessa vez, Euler melhorado, temos que a fórmula de recorrência vai ser dada por...

y n + 1 = y n + h 2 [ f x n , y n + f ( x n + 1 , y n + 1 ) ]

y n + 1 = y n + h 2 2 y n + x n + 1 x n + 2 y n + 1 + x n + 1 + 1 x n + 1

y n + 1 = y n + h 2 2 y n + ( 1 + n h ) + 1 1 + n h + 2 k n + [ 1 + n + 1 h + 1 1 + n + 1 h

Sendo que k n é dado por...

k n = y n + h 1 + n h ( 2 y n + n h + 2 )

Dando uma leve modificada no código anterior, obtemos para h = 0.2 ...

y 1.6 = 2.971514

Passo 4

Por último, vamos recorrer ao meu amigo Runge-Kutta de 4 ª ordem...

A fórmula de recorrência do método de Runge-Kutta de 4 ª ordem é dada por...

y n + 1 = 1 6 ( k 1 n + 2 k 2 n + 2 k 3 n + k 4 n )

Sendo assim, chamando y ' d e f x n , y n , temos para k 1 n

  k 1 ( n ) = h f ( x n , y n )

k 1 n = h n h + 1 ( 2 y n + n h + 2 )

k 2 n = h f x n + h 2 , y n + k 1 ( n ) 2

k 2 n = h n h + 3 / 2 2 y n + k 1 n 2 + n h + h 2 + 2

k 3 n = h f x n + h 2 , y n + k 2 n 2

k 3 n = h n h + 3 / 2 2 y n + k 2 n 2 + n h + h 2 + 2

k 4 n = h f x n + h 2 , y n + k 3 n 2

k 4 n = h n h + 3 / 2 2 y n + k 3 n 2 + n h + h 2 + 2

E mais uma vez dando uma modificada no nosso código, obtemos para h = 0.2 que...

y 1.6 = 3.019671

Passo 5

Dando uma leve modificada nos valores de h , chegamos então, à seguinte tabela abaixo...

E pronto! Pegou o macete?

Resposta

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