Enunciado

Encontre uma raiz da equação:

p ( x ) = x 4 - 6 x 3 + 10 x 2 - 6 x + 9 = 0 , aplicando o método de Newton para polinômios.

Passo 1

Faala ae, beleza?? Sendo bem sincero, essa questão tem um problema: não existe valores negativos de p ( x ) , então, a gente não conseguiria achar um intervalo em que tem uma raiz e nem um chute inicial... A única forma é, de fato plotando a função.

Então, vamos plotar essa função para termos um chute inicial:

Conseguimos ver que a raiz está entre x = 2 e x = 4 , certo? No caso, nosso chute seria x = 3 , intuitivamente, certo? Mas repare que essa já é a raiz:

p 3 = 3 4 - 6 × 3 3 + 10 × 3 2 - 6 × 3 + 9 = 0

Com isso, a gente já acharia o valor da raiz... Sem método algum, mas com certeza não é o intuito desse problema. Então, vamos adaptá-lo, beleza? Vamos fingir que nosso chute inicial é x 0 = 2 , 9 9 e vamos aplicar o método de Newton. 😊 Como o problema também não dá o critério de parada kkkk vamos admitir 10 - 4 .

O intuito será só aplicar o método para dar uma treinada...

Passo 2

Primeiro a gente tem:

p ( x ) = x 4 - 6 x 3 + 10 x 2 - 6 x + 9 = 0

Derivando, vamos ter:

p ' x = 4 x 3 - 18 x 2 - 20 x - 6

Aplicando na fórmula de Newton, teremos:

x k + 1 = x k - x 4 - 6 x 3 + 10 x 2 - 6 x + 9 4 x 3 - 18 x 2 - 20 x - 6

Se fizermos x 0 = 2 . 9 9 ,

Conseguimos chegar em:

x 1 = 2,9 9001

Vamos usar 4 casas decimais! O critério de parada:

x 1 - x 0 = 10 - 5 < 10 - 4

Com isso, podemos dizer que nosso resultado é 2,99001 ... A ideia é dar 3 , como sabemos. Mas o problema foi mal formulado... Então, não temos como saber exatamente como o autor queria que resolvêssemos, só sabemos que tínhamos que usar o método de Newton rs.

Resposta

x = 2,9901

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