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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 20

20. Escreva a equação de 2ª ordem:

y ' ' ( x ) = 2 e 2 x - y 2 1 2 y 0 = 0 y ' 0 = 1

Como um sistema de equações de 1ª ordem e resolva-o, para x   ϵ   [ 0 ,   0.6 ] , usando h = 0.2 :

a) pelo método de Euler

b) pelo método de Euler aperfeiçoado

Passo 1

a) E aí meus caros!

Manos e Manas! Se liga só! A nossa equação é dada por...

y ' ' ( x ) = 2 e 2 x - y 2 1 2

Bom! E pra achar um sistema de equações, o que a gente precisa fazer é utilizar substituição de variáveis.

Vamos chamar y ' x   de z ( x ) . Sendo assim, ficamos com..

y ' ' x = z ' ( x )

Passo 2

E fazendo as devidas substituições na nossa EDO, de 2 ª ordem, temos que...

z ' ( x ) = 2 e 2 x - y 2 1 2

Chegando assim, ao seguinte sistema de equações...

y ' ( x ) z ' ( x ) = 0 1 c ( y ) 0 y ( x ) z ( x ) + 0 q ( x )

E então, usando o método de Euler, temos que a nossa função vai ficar assim...

f x n , y n = 2 e 2 x - y 2 1 2

f x n , y n = 2 e 2 x n - y n 2 1 2

De modo que a nossa iteração vai ser dada por...

z n + 1 = z n + 2 h e 2 x n - y n 2 1 2

Com...

z 0 = y 0 ' = 1

Passo 3

E então, fazendo nossa iterações pelo método de Euler, chegamos até os resultados da tabela abaixo...

Passo 4

b) Quanto ao método de iteração do método de Euler aperfeiçoado, temos que este vai ser dado pela seguinte fórmula de iteração...

z n + 1 = z n + h 2 [ f x n , y n + f x n + 1 , y n + 1 ]

z n + 1 = z n + h 2 [ e 2 x n - y n 2 1 2 + e 2 x n + 1 - y n + 1 2 1 2 ]

Chegamos assim, aos resultados da tabela abaixo...

Resposta

a)

b)

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