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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 3

Calcule o valor aproximado de ∫ 0 0.6 d x 1 + x com três casas decimais de precisão usando

  1. Simpson
  2. Trapézios.

Passo 1

letra a:

Primeiro temos que ver essa requisição do erro menor ou igual a 1 0 - 3 .

A partir dessa fórmula podemos achar um bom número de subdivisões…

| E | ≤ n h 3 12 ∙ m a x x ∈ [ a , b ] | f ' ' ( x ) |

Temos que h = 0.6 n e sabemos que o limitante do erro é 1 0 - 3 . Além disso, temos que:

f ( x ) = 1 1 + x ⇒ f ' ' ( x ) = 2 ( x + 1 ) 3

Então f ' ' ( x ) tem valor máximo em f ' ' ( 0 ) = 2 .

Resumindo,

n ≥ 6

Passo 2

Como n = 6 , temos que h = 0.6 6 = 0.1

Jogando na fórmula:

∫ 0 0.6 d x 1 + x   ≈   0.470

Passo 3

Letra b:

∫ 0 0.6 d x 1 + x

Primeiro vamos calcular o erro com a seguinte fórmula:

| E T | ≤ h 3 12 f ' ' ( c ) < 1 0 - 3

Precisamos da segunda derivada!

f ( x ) = 1 1 + x → f ' ( x ) =   - 1 ( 1 + x ) 2 → f ' ' = 2 ( x + 1 ) ( 1 + x ) 4 = 2 ( 1 + x ) 3

f ' ' ( x ) = 2 ( 1 + x ) 3

Agora temos que achar o maior valor de f ' ' ( x ) para x ∈ ( 0,0.6 ) , no caso é f ' ' ( 0 ) = 2

Agora substituindo,

h 3 6 < 1 0 - 3

h < 0.1817

Se n = 4 , então, h = 0.6 4 = 0.15 , então podemos usar essa configuração de malha!

Agora vamos resolver a integral!

f ( x ) = 1 1 + x

∫ 0 0.6 d x 1 + x = 0.15 2 ( f ( 0 ) + 2 f ( 0.15 ) + 2 f ( 0.3 ) + 2 f ( 0.45 ) + f ( 0.60 ) ) ≈ 0.470

Resposta

∫ 0 0.6 d x 1 + x   ≈   0.470

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