Considere a fórmula para determinar a raiz cúbica de Q:

𝑥 𝑘 + 1 = 1 3 2 𝑥 𝑘 + 𝑄 𝑥 𝑘 2 ,   𝑘 = 0,1 …

a) Mostre que a fórmula acima é um caso especial de iteração de Newton.

Passo 1

Opaaa! Tudo tranquilinho? Vamos para mais um exercício e neste teremos que manipular a expressão dada para provar que a mesma é um caso especial do método de Newton. Para isso, vamos considerar a seguinte função para iterarmos:

𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑄

Passo 2

Teremos que aplicar o método de Newton na função que acabei de mostrar:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝑥 𝑘 − 𝑓 𝑥 𝑘 𝑓 ′ 𝑥 𝑘

𝑥 𝑘 + 1 = 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘 3 + 𝑄 3 𝑥 𝑘 2

Simplificando por meio do mínimo múltiplo comum:

𝑥 𝑘 + 1 = 3 𝑥 𝑘 3 − 𝑥 𝑘 3 + 𝑄 3 𝑥 𝑘 2

Subtraindo os termos semelhantes vamos ficar com:

𝑥 𝑘 + 1 = 2 𝑥 𝑘 3 + 𝑄 3 𝑥 𝑘 2

Guarda essa relação aí porque vamos precisar dela.

Passo 3

Agora vamos trabalhar com a expressão dada pelo exercício e tentar simplificá-la:

𝑥 𝑘 + 1 = 1 3 2 𝑥 𝑘 + 𝑄 𝑥 𝑘 2

Utilizando a propriedade distributiva:

𝑥 𝑘 + 1 = 2 𝑥 𝑘 3 + 𝑄 𝑥 𝑘 2

Simplificando por meio do mínimo múltiplo comum:

𝑥 𝑘 + 1 = 2 𝑥 𝑘 3 + 𝑄 3 𝑥 𝑘 2

Observe que chegamos na mesma expressão para as duas expressões, logo provamos o que o exercício pediu!

Resposta

Provamos que a expressão é um caso especial do método de Newton.

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