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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 10a

Considere a fórmula para determinar a raiz cúbica de Q:

𝑥 𝑘 + 1 = 1 3 2 𝑥 𝑘 + 𝑄 𝑥 𝑘 2 ,   𝑘 = 0,1 …

a) Mostre que a fórmula acima é um caso especial de iteração de Newton.

Passo 1

Opaaa! Tudo tranquilinho? Vamos para mais um exercício e neste teremos que manipular a expressão dada para provar que a mesma é um caso especial do método de Newton. Para isso, vamos considerar a seguinte função para iterarmos:

𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑄

Passo 2

Teremos que aplicar o método de Newton na função que acabei de mostrar:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝑥 𝑘 − 𝑓 𝑥 𝑘 𝑓 ′ 𝑥 𝑘

𝑥 𝑘 + 1 = 𝑥 𝑘 − 𝑥 𝑘 3 + 𝑄 3 𝑥 𝑘 2

Simplificando por meio do mínimo múltiplo comum:

𝑥 𝑘 + 1 = 3 𝑥 𝑘 3 − 𝑥 𝑘 3 + 𝑄 3 𝑥 𝑘 2

Subtraindo os termos semelhantes vamos ficar com:

𝑥 𝑘 + 1 = 2 𝑥 𝑘 3 + 𝑄 3 𝑥 𝑘 2

Guarda essa relação aí porque vamos precisar dela.

Passo 3

Agora vamos trabalhar com a expressão dada pelo exercício e tentar simplificá-la:

𝑥 𝑘 + 1 = 1 3 2 𝑥 𝑘 + 𝑄 𝑥 𝑘 2

Utilizando a propriedade distributiva:

𝑥 𝑘 + 1 = 2 𝑥 𝑘 3 + 𝑄 𝑥 𝑘 2

Simplificando por meio do mínimo múltiplo comum:

𝑥 𝑘 + 1 = 2 𝑥 𝑘 3 + 𝑄 3 𝑥 𝑘 2

Observe que chegamos na mesma expressão para as duas expressões, logo provamos o que o exercício pediu!

Resposta

Provamos que a expressão é um caso especial do método de Newton.

Exercícios de Livros Relacionados

Considere a equação 𝑥 − 5 𝑒 − 𝑥 = 0 . Obtenha a raiz positiva com quatro casas decimais corretas. Confirme que a ordem de convergência do método das secantes é 𝑝 ≈ 1.6818   .
Determinar todas as raízes do polinômio: 𝑃 𝑥 = 𝑥 3 − 5 𝑥 2 − 𝑥 + 5 = 0 , com precisão de 10 − 2 , usando o método de Newton e o algoritmo de Briot-Ruffini-Horner para o cálculo da primeira raiz.
Usando o método de Newton determine, sem efetuar divisão, o valor numérico de 𝑥 = 1 3 com 3 casas decimais corretas, iniciando com 𝑥 0 = 0.3 .
Usando o método de Newton determine t (real), com erro relativo inferior a 10 − 2 , tal que a matriz:Seja singular.
Sejam C = (1, 0) e D = (0, 1). Usando o método de Newton para sistemas não lineares determine o valor de um ponto P = (x, y), com precisão de 10−3, que diste 2 unidades de C e de D, obtendo os valores