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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 9a

Usando o método de Newton, com erro inferior a 10−2, determinar uma raiz das seguintes equações:

a) 2 𝑥 = 𝑡 𝑔 𝑥  

Passo 1

Opa, coleguinha! Tudo certo? O exercício pede para usarmos o método de Newton para encontrar uma raiz aproximada da função fornecida. Você lembra como é o método de Newton? Vamos refrescar a memória:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝑥 𝑘 − 𝑓 𝑥 𝑘 𝑓 ′ 𝑥 𝑘

Passo 2

Precisamos chutar um intervalo e verificar a existência de raiz no mesmo, lembre-se que para existir raiz precisamos que 𝑓 𝑎 × 𝑓 𝑏 < 0 em um intervalo 𝑎 ,   𝑏 :

Chutando o intervalo 1,1.15 :

𝑓 1 = 2 1 − 𝑡 𝑔 1 = 0.442592 > 0

𝑓 1.5 = 2 1.5 − 𝑡 𝑔 1.5 = − 11.10142   < 0

Logo existe raiz no intervalo 1,1.5 .

Passo 3

Com isso, agora devemos realizar as iterações com o método de Newton, considerando que a derivada da função é dada por 𝑓 ′ 𝑥 = 2 − 𝑥   e considerando 𝑥 0 = 1.5   .

𝑥 1 = 1.5 − 𝑓 1.5 𝑓 ′ 1.5 = 1.5 − 2 1.5 − 𝑡 𝑔 1.5 2 − 1.5   = 1.44389

𝑥 2 = 1.44389 − 𝑓 1.44389 𝑓 ′ 1.44389 = 1.36198

𝑥 3 = 1.36198 − 𝑓 1.36198 𝑓 ′ 1.36198 = 1.26818

Continuando as iterações vamos obter os seguintes valores:

𝑥 4 = 1.19618  

𝑥 5 = 1.16857  

𝑥 6 = 1.16559  

Analisando o erro das iterações:

𝑒 𝑟 𝑒 𝑙 𝑎 𝑡 𝑖 𝑣 𝑜 = 𝑥 6 − 𝑥 5 𝑥 6 = 1.16559 − 1.16857 1.16559 = 0.002 …   < 10 − 2

Com isso, fizemos tudo o que o exercício pediu!

Resposta

𝑥 _ = 1.16559

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