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Enunciado

CĂĄlculo NumĂ©rico - Franco e Neide B - CĂĄlculo NumĂ©rico- Ed: 1Âș - CapĂ­tulo 11.ExercĂ­cios complementares - Ex. 36a

Considere a integral:

đŒ   =   ∫ 0 0.8 đ‘„ 2 − c o s c o s   đ‘„   𝑑 đ‘„

a) Quantos intervalos seriam necessĂĄrios para aproximar đŒ     usando a regra do trapĂ©zio, com erro inferior a 10 − 2 .

Passo 1

Opa! Tudo na tranquilidade? Neste exercĂ­cio, iremos determinar o nĂșmero de intervalos necessĂĄrios para que a regra do trapĂ©zio nos forneça um erro menor que 10 − 2 no cĂĄlculo da integral do enunciado. Vamos lembrar que a fĂłrmula do erro mĂĄximo da regra do trapĂ©zio Ă© dada por:

− h 3 12 𝑓 â€Č â€Č 𝑡 ,   𝑡   ∈   𝑎 , 𝑏

Vamos determinar h, para assim, encontrarmos o nĂșmero de intervalos necessĂĄrios. Substituindo o que temos na fĂłrmula, ficamos com:

10 − 3 ≄ h 3 12 𝑓 â€Č â€Č 𝑡

Como o valor do erro tem que ser inferior a 10 − 2 , utilizamos 10 − 3 para garantir.

Calculando 𝑓 â€Č â€Č 𝑡 no ponto 0:

𝑓 â€Č â€Č 𝑡 =   2 + c o s       đ‘„   =   2 + c o s   0     =   3

Calculando 𝑓 â€Č â€Č 𝑡 no ponto 0.8:

𝑓 â€Č â€Č 0.8 = 2 + c o s   0 .   8   ≈   2.7

Neste caso, 0 Ă© o valor do intervalo que maximiza a segunda derivada da função. Como queremos o nĂșmero mĂ­nimo de intervalos, vamos usar o valor que minimiza a segunda derivada, que Ă© 𝑓 â€Č â€Č 0.8 = 2.7 . Substituindo na fĂłrmula:

10 − 3 ≄ h 3 12 2.7

O que implica que h   ≈   0.2   . Com isso, podemos encontrar o nĂșmero de intervalos ( 𝑛   ) da seguinte forma:

h   =   𝑏 − 𝑎 𝑛 →   0.2   =   0.8 − 0 𝑛

𝑛 = 4  

Acabamos! Até o próximo.

Resposta

4 intervalos.

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