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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 21

21. Considere o PVI

Passo 1

a) Mostre que o método de Euler aperfeiçoado, quando aplicado a esta equação fornece:

y_k + 1 = (1 + h + (h^2)/(2))^(k + 1)

b) Comparando com a solução exata do problema, você esperaria que o erro tivesse sempre o mesmo sinal? Justifique!

Passo 2

a) E aí meus caros e caras!

Se liga só! O PVI do exercício 16 é dado por...

{[[y^' = y],[y (0) = 1]])

Usando o método de Euler melhorado, temos que a fórmula de recorrência vai ser dada por...

y_k + 1 = y_k + (h)/(2) [ f (x_k , y_k) + f ( x_k + 1 , y_k + 1 ) ]

E chamando y ' de f ( x_k , y_k )

y_k + 1 = y_k + (h)/(2) [y_k + y_k + 1]

y_k + 1 = y_k + (h)/(2) [y_k + y_k + h y_k]

Passo 3

Assim, vamos ver como fica a nossa primeira iteração, com k = 0 ...

y_1 = y_0 + (h)/(2) [y_0 + y_0 + h y_0]

y_1 = 1 + (h)/(2) ( 2 + h )

y_1 = 1 + h + (h^2)/(2)

E depois, a segunda iteração com k = 1 ...

y_2 = y_1 + (h)/(2) [y_1 + y_1 + h y_1]

y_2 = 1 + h + (h^2)/(2) + (h)/(2) (2 + 2 h + h^2 + h + h^2 + (h^3)/(2))

y_2 = 1 + h + (h^2)/(2) + h + h^2 + (h^3)/(2) + (h^2)/(2) + (h^3)/(2) + (h^4)/(4)

y_2 = 1 + 2 h + 2 h^2 + h^3 + (h^4)/(4)

y_2 = (1 + h + (h^2)/(2))^2

Podemos ver que a fórmula de recorrência pode ser escrita com...

y_k + 1 = (1 + h + (h^2)/(2))^(k + 1) , k = 0,1 , ... .

Passo 4

b) A solução exata da equação é dada por...

y (x) = e^x

E sabemos que...

y_k + 1 = (1 + h + (h^2)/(2))^(k + 1) , k = 0,1 , ... .

Agora se liga! A função exponencial e^x pode ser escrita como uma série de potências dada por...

e^x = sum_(n = 0)^(oo) (x^n)/(n !) = (x^0)/(0 !) + (x)/(1 !) + (x^2)/(2 !) + (x^3)/(3 !) + (x^4)/(4 !)

Isso garante que o sinal do erro sempre seja positivo, uma vez que a solução exata sempre será maior do que a obtida pelas iterações!

Resposta

a)

y_k + 1 = (1 + h + (h^2)/(2))^(k + 1)

b)

S i m ! T e r á o m e s m o s i n a l

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16. Considere o PVI
Considere o .a) Encontre a solução aproximada usando o método de Euler com h = 0.5 eh• 0.25, considerando x E [O, 2]; b) idem, usando Euler Aperfeiçoado; c) idem, usando Runge-Kutta de 41 ordem; d) sa
3. Dado o PVI abaixo, considere h = 0.5, 0.25, 0.125 e 0.1 y ' = 4 - 2 x y 0 = 2 a) Encontre uma aproximação para y ( 5 ) usando o método de Euler aperfeiçoado, para cada h .b) Compare seus resultados
19. Considere o problema: y ' ' + 7 y = 0 y 0 = 2 y ' 0 = 0 Com x ∈ [ 0 ,1 ] a) reescreva os métodos de Euler e Euler aperfeiçoado para resolver este problema como um sistema de equações de 1ª ordem;b