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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 11

Construa uma tabela para a função f(x) = cos(x) usando os pontos: 0.8, 0.9, 1.0, 1.1, 1.2 e 1.3. Obtenha um polinômio de grau 3 para estimar cos(l.07) e forneça um limitante superior para o erro.

Passo 1

A gente começa montando a tabela:

Dai queremos função interpoladora de 3º grau, então a gente precisa de n + 1 pontos, no caso 4 .

p 3 ( 0.9 ) = c o s ( 0.9 ) = a 0 + a 1 ( 0.9 ) + a 2 ( 0.9 ) 2 + a 3 ( 0.9 ) 3 = 0.62161

p 3 ( 1 ) = c o s ( 1 ) = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 = 0.5403

p 3 ( 1.1 ) = c o s ( 1.1 ) = a 0 + 1.1 a 1 + 1 . 1 2 a 2 + 1 . 1 3 a 3 = 0.4536

p 3 ( 1.2 ) = c o s ( 1.2 ) = a 0 + 1.2 a 1 + 1 . 2 2 a 2 + 1 . 2 3 a 3 = 0.36236

Passo 2

Passando isso pra forma de matriz, a gente vai ter:

Resolvendo esse sistema, chegamos à:

p 3 ( x ) = 0.97060 + 0.122253 x - 0.6945 x 2 + 0.14167 x 3

Para estimar o erro, podemos usar a fórmula:

E r r o ( x )     ≤   e r r o ( x ) =   f ( n + 1 ) ( c ) ( x - x 0 ) n + 1   ( n + 1 ) ! ,   o n d e   c   é   u m   v a l o r   e n t r e   x 0   e   x

Podemos pegar o maior valor da função e r r o ( x ) para majorar isso!

e r r o ( x ) = c o s ( x ) ( x ) 4 5 !   ≤   x 4 120

Então,

E r r o ( x )   ≤   x 4 120

Resposta

p 3 ( x ) = 0.97060 + 0.122253 x - 0.6945 x 2 + 0.14167 x 3

E r r o ( x )   ≤   x 4 120

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Verifique que na interpolação linear | E ( X ) | = (h^2 M_2)/(8) , onde h = x_1 - x_0
Dada a função f ( x ) = x e x 2 e a tabela:a) Calcular o polinômio de interpolação sobre todos os pontos; b) Calcular f 2.4 ; c) Dar um limitante superior para o erro de truncamento.
Seja a função f ( x ) dada pela tabela:Calcular f ( 0 , 5 ) usando polinômio de interpolação para argumentos igualmente espaçados.
A função y = ∫ x ∞ e - t t d t e dada pela seguinte tabela:Calcular y para x=0 , 0378 usando polinˆomio de interpolação sobre 4 pontos.
Determinar o único polinômio de grau menor ou igual a 3 , que coincide com f ( x ) nos seguintes pontos: f ( 0.5 ) =2;f ( 0.6 ) =8;f ( 0.7 ) =- 2;f ( 0.8 ) =5 Calcular também f ( 0.56 ) .