Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.1 - Ex. 11

Utilize o método de Euler para calcular as três primeiras aproximações do problema de valor inicial dado para o tamanho do incremento especificado. Calcule a solução exata e estude a precisão de suas aproximações. Arredonde até a quarta casa decimal.

y ' = 1 - y x

y 2 = - 1 ; d x = 0,5

Passo 1

Galera, o método de Euler é um método onde encontramos um valor aproximado para as soluções de EDO em um pequeno intervalo em torno de x 0 . O enunciado pelo para calcular as três primeiras aproximações para o problema de Valor inicial dado:

Temos as seguintes informações:

y ' = 1 - y x

y 2 = - 1 ; d x = 0,5

Então, vamos lá:

y 1 = y 0 +   1 - y 0 x 0 d x

Vamos substituir os valores dados na questão, para encontrar y 1 ,

y 1 =   - 1     1 -   - 1 2 0,5

y 1 =   - 1   3 2 .   0,5

y 1 =   - 1 + 0,75 = - 0,25

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 1 para encontrar y 2 ,

y 2 = y 1 +   1 - y 1 x 1   d x

y 2 =   - 0,25 +   1 - - 0,25 2,5 0,5

y 2 =   - 0,25 + 1,1 . 0,5

y 2 =   - 0,25 + 0,55 = 0,3

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 2 para encontrar y 3 ,

y 3 = y 2 +   1 - y 2 x 2   d x

y 3 = 0,3 + 1 - 0,3 3 0,5

y 3 = 0,3 + 0,9 . 0,5

y 3 = 0,3 + 0,45 = 0,75

Passo 2

Agora, vamos encontrar a solução exata:

Temos a seguinte equação :

y ' = 1 - y x

Vamos reescrever a equação da seguinte forma:

y ' + 1 x y = 1

Vamos agora comprar com a equação diferencial:

y ' x + p x y = f ( x )

Comparando, percebemos que p x =   1 x ; f x = 1

Agora, que identificamos p ( x ) e f ( x ) , vamos encontrar o fator integrante, ok?

Show, o fator integrante é dado por:

u x =   e ∫ p x d x = e ∫ 1 x d x =   e ln ⁡ x = x

Agora, multiplicaremos o fator integrante pela equação dada:

y ' x + x .   1 x y = 1 x

y ' x + y = x

Repare que do lado esquerdo da equação equivale a derivado do produto:

d y d x x . y =   x

Agora é só integrar:

x . y = ∫ x d x

x . y = x 2 2 + C

y = x 2 + C x

Passo 3

Para y 2 = - 1 temos:

- 1 = 2 2 + C 2

- 1 = 1 + c 2

C = - 4

Logo,

y = x 2 - 4 x

Passo 4

Agora, vamos verificar a precisão da aproximação:

y 3,5 = 3,5 2 - 4 3,5

y 3,5 = 1,75 - 1,1428 ≅ 0,6072

Resposta

≅ 0,6072

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize o método de Euler com d x = 0,2 para estimar y ( 2 ) se y ' = y x e y 1 = 2 . Qual o valor exato de y 2 .
Use o método de Euler com o passo especificado para calcular o valor da solução no ponto dado x * . Determine o valor da solução exata em x * y ' = 2 x e x 2 , y 0 = 2 , d x = 0.1 , x * = 1
Use o método de Euler com o passo especificado para calcular o valor da solução no ponto dado x * . Determine o valor da solução exata em x * y ' = 2 y 2 ⋅ x - 1 , y 2 = - 1 2 , d x = 0.1 , x * = 3
Use o método de Euler com d x = 0,05 para estimar y(c), onde y é a solução para o problema de valor inicial dado. c = 4 ;d y d x =x 2 - 2 y + 1 x ,y 1 = 1
Use o método de Euler com d x = 0,05 para estimar y(c), onde y é a solução para o problema de valor inicial dado. c = 3 ;d y d x =x - 2 y x + 1 ,y 0 = 1